专题九 中学数学的统一性
今天数学，正对科学和社会产生着翻天覆地的影响；现代数学的突飞猛进，也迫使我们重新审视数学教育.为了发展有效的新的数学课程，我们必须力图预见未来学生对数学的需要，必须在今天的数学中寻找合理模式，以便尽我们所能推断什么是中学数学真正的基础以及如何教好数学.
整个数学被三种思想观念统治着，或者说有三个基本概念渗透在整个数学领域中，这三个基本概念就是数、序和空间。事实上，每个数学真理都或者涉及及其中之一个，或者同时涉及其中之两个，甚至或是三者的组合。算术的研究对象是抽象的数的性质，代数可以视为运算的科学，序在其中则是一个颇占优势的观念，而几何是关于空间与空间中性质变换的学科。可见，从数学的基础出发，以中学数学新课程标准内容为参照物，以中学数学的经典研究对象和方法为研究核心，从不同视角探究中学数学的本质.
一、 数与形的统一
当前，数学教育界都在关注数学课程标准[1][2]的制订与实施，关注数学课程改革，而几何直观是数学中生动的、不断增长的而且迷人的课题，在内容上、意义上和方法上远远超出对几何图形本身的研究意义。正如弗莱登塔尔所说，“几何直观能告诉我们什么是可能重要、可能有意义和可接近的，并使我们在课题、概念与方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。”这也与康德的“缺乏概念的直观是空虚的，缺乏直观的概念是盲目的”观念是相同的。随着《普通高中数学课程标准》[2]提出培养和发展学生的几何直观能力，几何直观成为数学教育中的一个关注问题；经过适当的发展，相信对几何直观的研究能够成为数学教育的核心问题。
案例1、代数恒等式
1、平方差公式：
直观理解：
如图所示，矩形AEFD,AD=CD=a,BE=BG=BQ=b,则易得正方形ABCD与正方形QBPG的面积之差等于矩形OHFD的面积，即
故等式成立。
2、完全平方公式：（1）
（2）
直观理解：
对于代数式（1）， 如图所示，正方形ABCD,其中AO=a，OD=b, 正方形ABCD的面积等于正方形AEFO、正方形FGHC、矩形EBGF与矩形FHDO的面积和，即
对于代数式（2），如图所示，正方形ABCD,AB=a,CG=b,
正方形AEFO的面积等于正方形ABCD的面积减去矩形EBCH和矩形OGCD的面积在加上正方形FGCH的面积，即
则（2）式成立。
早在公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得在《几何原本》卷2设有如下命题：“任意分一线段成两段，则整段上的正方形等于两分段上的正方形与两分段所构成矩形的二倍之和。”若以啊，a，b 
在中国，成书于公元1世纪的《九章算术》提出世界上最早的多位正整数开平方、开立方的一般程序。类比地，有公式
的直观证明：
公元5世纪，印度数学家阿耶波多（Aryabhata，476～？）在其数学著作中给出来求平方根和立方根的法则。
3、 十字相乘公式：
如图，矩形ABCD中，DG=HD=x, AH=a, CG=b,
显然，矩形ABCD的面积等于正方形HOGD与矩
形AEOH、矩形EBFO、矩形OFCG的面积和，即
4 、 阿拉伯数学家花拉子米（约783—850）对方程
的几何解法。
（分两种情况讨论）当x＜5时，以x为边作正方形ABCD，延长AD到E，使AE=5，再延长到H，使EH=5。以EH为边作正方形EHGF，延长BC分别得交点L、P，以LF为边作正方形LFMN。记几个矩形的面积为a、b、c、d，则由图形可知
当x＞5时，类似可得x=7。
案例2：重要不等式
直观理解2：如右图，△ABC∽△AEF，设
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矩形ABFE的面积=ABCD的面积+CDEF的面积=ab+bm
矩形AHGD的面积=ABCD的面积+BCGH的面积=ab+am
因为ABFE的面积>AHGD的面积
所以ab+bm>ab+am，两边同时除以b(b+m)
即得
通过以上的一些代数学式的几何表示的例子，我们一定惊叹于数与形结合的美感。可以看出，应用几何的方式来表示代数公式，代数式的意义更直观，理解起来更容易，学生对这些代数式记忆会更容易、更持久。当然以上只是将代数式转化几何表示形式，数形结合当然还包括将几何形式转化为代数形式。而且这种相反的方向也是相当重要的。例如当笛卡尔将坐标系引入代数后，数学家门开始相信所有的几何问题都能转化为代数问题，坐标系的引进，将繁琐或不直观的几何图形问题，转化为简单便于计算的代数问题。因此数学家门掀起了将一切问题转化为代数问题的热潮。笛卡尔的想法是，将所有问题都抽象成数学问题——将所有数学问题转化为代数问题——将所有代数问题转化为方程问题——将方程问题转化为一次方程问题，如此即可将所有问题都转化为代数问题解决。当然不考虑这种做法能否成功，或者是否有意义，这种数与形的转化思想是我们要重视和学习的。著名数学家华罗庚先生说过：“数形结合百般好，割裂分家万事非”，可见数与形是不分家的，数学的教学和学习的过程都不能光侧重某一方面，要让学生经常将数与形结合起来，即学会“以形助数”又要会“以数解形”。
总之，数形结合的办法可以以形象思维来弥补抽象思维的欠缺，可以有效地培养学生的抽象思维和形象思维的合作和协调的能力，进而促进抽象思维的发展，最终达到抽像思维与形象思维的平衡发展。数形结合方法掌握的好会给学生解题带来方便，可以培养学生自信心，增强学生数学学习兴趣。因此数形结合的思想是非常重要的，在数学教学的过程中教师要时刻有意渗透这种思想。
三、中学常见的费波那契数列模型
五、中学数学的统一性
数。空间。集合
“从最一般的意义讲，数学是关系的科学，在全部的内容中，对“关系”作出抽象”（高斯）.对于人类来讲，学数学的主要目的是服务于人类、解释自然现象，其结果就是了解现象之间的关系，即对复杂而混沌的现象或数据施以理性梳理，抽象出数量关系和空间形式，并作为数学的研究对象，从而探究关系中的秩序与和谐.
我们知道，整个数学是由数和空间两个概念构成的，二者都是现实的一部分；
比较抽象的方面常联系到数，比较直观的方面常联系到空间概念，二者是相辅相承的.从数的本质来看，数就是一种感官，是对于生存环境的一种悟性，其本质就是“多少” [2].数也是数,人类对数的直观感觉就是从计数开始的，利用“一一对应”关系来作为计数的根据.数一数有限集合的元素，并把这些元素排成次序就产生了自然数，再以自然数作为基数和序数，从而引进了量的概念.把数抽象为数学符号，再抽象为各种类型的量的关系，至此，人类跨越了重要的障碍.
为了研究产品、房屋、地段等形状，引入了几何图形的概念，成为几何空间的组成部分.我们知道，可以用确定的单位来度量已知量，在自然数与量之间建立起联系，由此人们得到了计算空间几何量（长度、面积、体积等）的公式，也就是通过量在数与空间之间架起桥梁，二者之间的对应关系使得几何与代数密不可分.
把数抽象为量的关系，把几何图形抽象为理想的空间形式，二者构成了数学的基本研究对象，而二者同样又是中学数学的研究基础.从小学对数的认识到中学对数量的理解，从小学对图形的认识到中学对空间的定性、定量分析，都是把数与空间作为研究大厦的根基，而二者的研究都离不开一个重要的概念——集合.集合的概念是从现实世界中抽象出来的模型之一，是构成现代数学理论的基础.数的概念通过一一对应关系，作为对物体计数的数学模型，把所有表示数量的符号放在一起构成的集合成为“数集”，自然数集的性质与关系是从具体物体组成的集合的性质与关系抽象而得出. 直线、平面、球等几何概念同样是将这些物体按照具有接近于某一图形的形状进行的分类.集合的分类，把一一对应做为计数有限集合的根据，一一对应又使两个集合对等，再通过等价关系，将集合分成不同的等价类，这就是数学中重要的分类思想,它是洞悉和发掘数学中隐藏关系的有利工具，有助于培养人们洞悉事物内部关系的能力.
自然地，中学里所研究的数学概念都可以归结到集合上研究.数集、点集成为我们的研究中心；等价关系将中学的研究对象分成不同的等价类，进而揭示事物的性质与关系.但是，我们可以看出数、空间、集合等概念的建立离不开对应关系，分类方法的产生更离不开对应关系.
代数学的基本思想就是系统、有效地运用运算律去解决代数问题，而归纳定理则是保证运算律普遍成立的基础，它也是数学证明的有效方法.从小学的算术到中学的代数，二者的区别在于：（1）从形式上看，算术只是在数字之间进行运算，而代数是在不定元与数字之间进行运算；
（2）运算律的有效使用.代数式的去括号运算离不开运算律，尤其是分配律，向量内积的产生则是分配律的有利体现。从某种意义上讲，分配律在代数运算中体现了它的威力，这可能才是算术与代数之间的分水岭. 而研究分配律的意义在于分配律是唯一连接“加”、“乘”两种代数运算的方式，通过这种连接能在运算过程中改变两个运算的次序.
现在我们从代数结构的扩张观点出发，探讨一下新课程标准中扩张的特点：
数系的扩张：从自然数集N扩张到整数集Z，由Z扩张到有理数集Q都是通过定义等价关系而得到的，等价类的代表元构成了商集，保证了原集合的整体嵌入和运算一致，也就是使扩张满足嵌入映射的关系.
多项式、矩阵、n维向量空间都是在实数集上的嵌入映射.
中学数学中扩张的几种形式，都是建立在半群的基础上的，数系和空间的扩张都以半群
作为变化着的量的一般性质及它们之间依赖关系的反映，数学中产生了变量和函数的概念，而数学对象的这种根本扩展就决定了向数学的新阶段——变量数学的过渡.“数学中的转折点就是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了”（恩格斯）.
变量和函数这两个数学概念，无非就是对具体变量和它们之间的依赖关系的抽象概括.正像实数的概念是任意量的值的抽象模型一样，“变量”是变化着的量的抽象模型.函数也完全一样，它是一个变量对另一个变量的依赖关系的抽象模型.古希腊的数学中是不存在函数的,因此只能处理几何学中那些静态的东西,直到渐渐引入了函数的概念,才开辟了从因果关系这一方面来分析表示动态现象的道路.
初等函数是中学数学最重要的课程之一，它把数学基本代数结构都刻画得很清楚。这两种代数结构同构（也是一一对应），而满足同构关系的运算有五种形式，他们构成了初等函数.
为了描述不同变量之间的变化率关系，引进了微分学。为了更好地体会变量、连续、极限和无穷等概念，正确理解变化、运动等辨证思想，学会模型化的问题解决方法就成为中学课程培养目标的一个新热点.但这些围绕变量和函数的问题，都离不开变量之间的依赖关系，这为人们提供了一种问题解决的有效方法和途径，函数本身就是一类特殊的映射，它体现的恰恰是两个集合变量之间的对应.
几何空间同样研究运动.平移、旋转、反射等变换不改变图形的大小和形状，都是图形的重合运动，即保持两点间的距离不变，我们称这种运动为等距（合同、正交）变换或对称，对称的全体构成了变换群，这样在图形变换与群之间建立了对应关系.全等、相似、伸缩等变换同样成为中学课程的研究对象.“几何学是研究图形在一个变换群的变换下保持不变性质的一门科学”（克莱因），探究图形变换不变量成为几何研究的核心问题之一，而矩阵是研究线性空间的线性变换的有效方法.矩阵标准形恰是一个矩阵的不变量，它也是在两个线性空间建立同态映射，即一种对应关系.矩阵进入中学课程也是为学习现代数学提供一个平台.
4、代数与几何的两次完美结合
位置是空间最原始的基本概念，那么如何在空间描述所确定的位置呢？这要
归功于笛卡儿和费尔玛，正是他们在几何学中引进了坐标的方法，从而为我们提供了有力的解决问题的工具.坐标方法的重要性在于，它使平面几何学中的任何问题转化成为代数学中与之等价的问题，而希尔伯特公理体系中的对象和关系则可以理解为实数论的对象和关系：
解析几何的思想本质,就是在平面上的点与有序实数对之间、曲线与含两个变量的方程之间建立对应关系。同理，在三维空间也同样可以进行表述。也就是说初等几何学有一个实数论模型，通过坐标把代数与几何统一起来，这是中学解析几何研究的重要课题.
引进坐标，并不是把代数和几何结合的唯一方法，我们也可以利用有向线段
给出一套代数方法即向量代数的方法.n
空间的基本性质就是平行和对称.空间对称的全体构成了正交变换群，而所有的平移变换构成了正交变换群的正规子群，向量运算所得的数量都是正交变换群下的不变量，所以研究几何不变量可以寓于向量运算之中.空间所有点构成的集合与空间所有位移向量构成的代数体系之间建立一一对应关系，使得代数与几何结合得更加自然.
研究空间的常用方法还有投射法与提升法，而在中学主要体现在勾股定理的学习上.通过把空间维数提高或降低，减少或增加变量，重新构建对应关系来解决实际问题是我们研究几何常用的思想方法.
空间解析几何与向量代数都是对空间进行深刻的数理分析的基本工具，二者也是变换关系反演法最富有成果的案例.代数与几何的完美结合，相辅相承、相得益彰.
数据。机遇
变化在现实世界无处不在，应付变化和不确定性都离不开数据和机遇. 概率是研究随机现象规律的学科，统计是研究如何合理收集数据，对数据进行整理、分析的学科，为人们制定决策提供依据.从数据产生到数据分析到概率到推断，这是一种独立的和基本的智能方法，统计思想和概率模型是中学课程改革的重点.
统计学的本质就是对数据的理解.而在中学主要讨论如下问题：
数据产生：收集数据要保证随机性和代表性
数据分析：组织（分类思想）、描述（分布图）、概括数据（样本估计总体即用样本频率和基本数字特征来估计总体）
概率：随机性的数学描述（平均数、标准差等）
推断：由数据分析做合理决策
通过收集现实问题中有关变量的数据，认识变量之间的相互关系，描述两个变量的线性相关过程，建立线性回归模型，这是中学课程对统计思想的深刻理解，而建立模型的关键是在两个变量之间建立对应关系，从而使变量定量化.
概率是描述机遇的数学模型.在概率空间研究古典概型，组合学为其提供理论根基.随机变量是在概率空间上建立的实值函数
培养人们明智地应付变化和不确定性的能力，在变量之间建立对应关系，给变化定量化，在不确定的经验数据中，通过实验科学获取数学的抽象和演绎能力，探索随机现象中的规律性，这就是概率与统计在中学课程中的教育目标.
统一性：对应
中学数学的研究对象就是数和空间图形，将研究对象的全体组成一个集合，在集合中探究两个变量之间的关系即成为研究问题的核心.代数运算是一个二元关系，是数与数之间的一一对应关系，代数结构的扩张是嵌入映射，函数本身就是数集之间的映射；所有对称的全体构成变换群，进而图形之间的对应转化成变量之间的对应（双射、同构）；空间点与点之间的对应，通过引进坐标或向量，转化成数对（数组）之间的对应；数据通过分类，在两个变量之间建立对应关系，对数据进行定量化分析，在随机变量之间建立函数关系，对不确定性事物给出决策依据.从某种意义上来理解，中学数学的本质就是对应.
