专题七 对称思想

对数学美的追求既是数学家从事创造活动的动力之一，又是他们判断和选择成功的重要工具，因而追求数学美是数学发现的重要因素。对称是自然界一种常见的重要的现象，也是数学研究的一个重要内容，是数学美的一种重要体现。现代数学把数学研究的对象从“空间形式与数量关系”扩充为“模式与秩序的科学”。德国数学家H·外尔说：“对称是一个广阔的主题，在艺术和自然两方面都意义重大。数学就是它的根本，并且很难找到可以论证数学智慧作用的更好的主题。”

一、代数式中变元的对称

对称式的基本性质

性质1 　任何对称式都可以用它的基本对称式来表示。

性质2 　对称式的和、差、积、商也是对称式。

性质3 　轮换对称式的和、差、积、商也是轮换对称式。

性质4 　齐次轮换对称式的和、差、积、商也是齐次轮换对称式。

性质5 　一个m \* MERGEFORMAT 次对称式乘以一个n \* MERGEFORMAT 次对称式,其积必为一个m+n \* MERGEFORMAT 次对称式。

(A) 1(B) 2(C) 3 (D) 6

分析：显然方程组关于x、ｙ、ｚ对称，其结果也应关于x、y、z对称。

若方程只有一组解，则必有x＝ｙ＝ｚ,此时由① 有x＝ｙ＝2，代入②、③皆不成立，所以(A)错。

若方程有两组解，则与方程组关于x、ｙ、ｚ具有的对称性矛盾，所以(B)也不对。

若方程有三组解，则x＝ｙ≠ｚ应成立,此时由①，ｚ＝6-2x，代入②得3x²-12x+13＝0,但由于△＝-12＜0，此方程无解，(C)也错。

故应选(D)。

【点评】当x、ｙ、ｚ为两两不等的实数时，这三个数的每一个排列对应于这样的方程的一组解，这样的排列共6组，故方程组应有6ｋ(ｋ∈Ｎ)组解。实际上，1、2、3的6组不同排列就分别是上述方程的6组解。

例2：a、b、c为相异正数，求证：(b-c)²(b+c-a)+(c-a)²(c+a-b)+(a-b)²(a+b-c)＞0.

分析：由于不等式关于a、b、c具有对称性，不妨设a＞b＞c

①当a+c-b≥0时，结论显然成立

②当a+c-b＜0时，设b+c-a=-x，则x＞0，a=b+c+x

左边=(b-c)²(-x)+(b-x)²(2c+x)+(2b+x)(c+x)²＞0

根据对称原理，在a、b、c的其它大小关系下，原式同样成立。

结论得证。

【点评】可见，在解题的过程中如果注意到对称性并且恰当地利用对称性，则可以减少一些繁琐的计算，使解题方法简洁明快，提高解题效率，达到事半功倍的效果。

分析配方法简单自然，学生容易想到这种解法，但缺点是配方依赖于熟练的运算技巧。因此配方法不容易推广到高次方程的情形，三次方程配方法就相当复杂。仔细分析对称法，这种方法思路清晰，它充分地利用了“方程的系数是根的对称函数”这一性质。这种方法显然有可能推广到一般的高次方程的情形。

三、 函数的对称性

1 、函数关于点对称

定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是

f (x) + f (2a－x) = 2b

证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P^‘（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴ 2b－y = f (2a－x)

即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。

（充分性）设点P(x₀,y₀)是y = f (x)图像上任一点，则y₀ = f (x₀)

∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x₀) + f (2a－x₀) =2b，即2b－y₀ = f (2a－x₀) 。

故点P^‘（2a－x₀，2b－y₀）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P^‘关于点A (a ,b)对称，充分性得征。

推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0

2 、函数关于直线对称

定理2.函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是

f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （证明留给读者）

推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x)

定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。

②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 （a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。

③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。

①②的证明留给读者，以下给出③的证明：

∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称，

∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得：

f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*）

又∵函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称，

∴ f (2b－x) = f (x)代入（*）得：

f (x) = 2c－f [2(a－b) + x]…………（**），用2（a－b）－x代x得

f [2 (a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b) + x]代入（**）得：

f (x) = f [4(a－b) + x],故y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。

推论：两个函数的图象对称性