专题三 问题解决的心理分析
一、波利亚的解题四步骤与“怎样解题表”
美国著名的数学家、数学教育家乔治﹒波利亚作为一个数学教育家，他曾以数十年的时间悉心研究数学启发法和数学教学，从而为数学方法的现代研究奠定了必要的理论基础。他的教育思想的宗旨是:“教会年轻人去思考”，培养学生的“独立性、能动性和创新精神”。
波利亚对数学问题解决的宏观思考过程进行了分析，认为数学解题应分为四个步骤：①理解问题，②拟订计划，③实现计划，④回顾与检验。
第一步、弄清问题——你必须弄清问题
未知数是什么?已知数据是什么?条件是什么?满足条件是否可能?要确定未知数，条件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的?
画张图，引入适当的符号。把条件的各个部分分开，你能否把它们写出来?
第二步、拟定计划一一找出已知数与未知数之间的联系。如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题。你应该最终得出一个求解的计划。
你以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形式稍有不同?
你是否知道与此有关的问题?你是否知道一个可能用得上的定理?
看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题?。
这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题。
你能不能利用它?你能利用它的结果吗?你能利用它的方法吗?为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素?
你能不能重新叙述这个问题?能不能用不同的方法重新叙述它?
回到定义去。
如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更容易着手的有关问题?一个更普遍的问题?一个更特殊的问题?一个类比的问题?你能否解决这个问题的一部分?仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知数能确定到什么程度?它会怎样变化?你能不能从已知数据导出某些有用的东西?你能不能想出适于确定未知数的其它数据?如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近?
你是否利用了所有的已知数据?你是否利用整个条件?你是否考虑了包含在问题中的的所有概念。
第三步、实现计划——实行你的计划
实现你的求解计划，检验每一步骤。
你能否清楚地看出这一步骤是正确的？你能否证明这一步骤是正确的？
第四步、回顾——验算所得到的解
你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能不能一下子看出它来？你能否把结果或方法用于其他的问题？
案例
波利亚认为此表有两个特点：“普遍性”和“常识性”。
“普遍性”： 表中所提问题与建议的重要特点之一是普遍性，例如：未知是什么?已知数是什么?条件是什么?这些问题都是普遍适用的，对于所有各类问题，我们 提出这些问题都会取得良好效果。它们的用途不限于任何题目。我们的问题可 以是代数的或几何的，数学的或非数学的，理论的或实际的，一个严肃的问题 或仅仅是个谜语。这没什么差别，上述问题都是有意义的，而且有助于我们解题。
事实上，还存在一个限制，不过这与论题无关。表中某些问题与建议，只 能用于“求解题”而不能用于“求证题”。如果我们的问题属于后者，则必须 采用别的提问方法，见第三部分“求解题，求证题”这一段。
“常识性”：我们这张表中的问题与建议是具有普遍性的，但是除去其普遍性以外，它 们也是自然的、简单的、显而易见的并且来自于普通常识。例如这条建议：看 着未知数!试想出一个具有相同未知数或类似未知数的熟悉的问题，这条建议不 管怎样总是劝告你去做你想做的事，而对于你认真要解决的问题并未提出具体 的劝告。你是不是肚子饿了?如果你希望搞点吃的，你就会想起你所熟悉的搞到 食物的一些办法。你是不是有一个几何作图题?如果你想作一个三角形，你也会 想起你所熟悉的一些作三角形的办法。你是否有一个任意的问题?你若希望找出 某个未知数，你就会想起找出这样一个未知数或你所熟悉的类似未知数的一些 办法。如果你这样做了，那你的路子也是对头的；这个建议是个好建议，它向 你提出一个常能成功的程序。
一、 舍菲尔德的问题解决流程图
与波利亚的“怎样解题表相比”舍菲尔德进一步分析了问题解决过程中的“控制”情况，将问题解决过程分为分析、计划、探索、实施和检验五个环节。详细的指明了各阶段相应的探索策略，并用流程图的形式描述了问题解决的过程，如图1：
（1）认识的资源
即解决问题时个体所拥有的数学知识、已掌握的事实和算法。显然，“问题解决”以一定的知识为必要条件，但舍菲尔德强调的是知识的表述方式，知识的良好组织。事实上，波利亚也曾明确地提出了这一思想：“货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本。良好的组织使得所提供的知识易于用上，这甚至可能比知识的广泛更为重要。”
学习的认知理论把学习者头脑中的数学知识结构称为数学认知结构。数学认知结构是指学习者头脑中的数学知识，按着自己的感觉、知觉、记忆、思维等认知特点，组合成的一个具有内部规律的整体结构。人的思维依赖于必要的知识和经验。数学知识正是数学解题思维活动的出发点与凭借。但是，仅仅在头脑中存在知识，并不能保证它能得到有效的应用，丰富的知识并加以优化的结构才能为题意的本质理解与思路的迅速寻找创造成功的条件。即良好的认知结构才有利于在问题解决过程中信息的提取和运用。
（2）探索方法
即处理非熟悉或者非常规问题的策略与技术，是影响问题解决的重要要素。包括画出图形、引进适当的符号、探索相关的问题、重新表述问题、进一步考虑、试验与确定程序等。
舍菲尔德在《数学解题》中，不但结合解题的过程详细地指明了各阶段的探索法则，还集中地对如何使“探索法”具体化的问题进行了探讨。舍菲尔德指出：对某一探索法则进行描述以使学生能认出并欣赏这一法则的应用，并不等于学生本人即能有效地应用这一法则去解决问题。事实上，后者要比前者困难得多；但这却又正是“探索法”教学(更为一般地说，就是数学教学)所应实现的目标。舍费尔德认为，为了实现这一目标，“探索法”的教学就应更为细致。
例如，为了帮助学生较好地掌握“特殊化”的方法，舍费尔德列举了如下例子：
例5两个边长为5的正方形叠合放置，其中一个的中心恰好位于另一个的一个顶点之上，试确定重合部分的面积的可能范围？
考虑特殊情形，即如图2—4、图2—5所示的情况
（3）调控
调控是指对于所从事的解题活动的自我意识、自我分析和自我调整，有人也称为元认知。包括解题者运用已有知识的效率；认识资源和解题策略的选择；对整个解题过程的调节、监控与评价。可以说对“调控”的突出强调，是波利亚以来“问题解决”理论研究所取得的重要进展之一。
元认知(metacognition，又译为反省认知)，是描述个人对自己认知过程的自我意识和自我调节、监控的术语。这一术语最初是由弗雷威尔提出的，它强调信息加工过程中个人的主观意识。元认知对整个加工过程起到控制、执行的功能，是影响个体能否有效地加工信息、解决问题的关键。正因为如此，它受到心理学家越来越多的重视，以至斯腾伯格提出的智力成份理论将元认知作为一个重要的成份。
舍菲尔德通过学生和数学家实际解题过程的比较研究发现：学生往往不加思考地采取某一方法或解题途径，或总是在各种“可能的”解题途径之间徘徊，却始终未能构思出一个较为明确的解题方案；另外，在沿着某一解题途径走下去时，则又往往不能对自己目前的处境做出清醒的评估并由此而做出必要的调整，而只是“一股劲地往前走”直至最终陷入了僵局，而一无所获。与此相反，数学家在具体采用某一方法或解题途径前，往往对各种可能经过了仔细的考虑；在整个解题过程中显得“心中有数”，即清楚地知道自己在干什么和为什么这样干；他们并能对目前的处境做出清醒的评估，并由此去做出必要的调整。即使在出现错误的情况下，他们也不会简单地抛弃已有的工作，而是力图从中吸取有益的成分；最后，在成功地解决了问题以后，他们又能自觉地对所进行的工作进行回顾，特别是考虑是否还存在更有效的解题途径。由此表明“调控”的在问题解决中的重要性。
（4）观念系统
既解题者对数学本质及如何思考的总体看法，包括解题者关于数学；关于自己；关于环境；关于课题等的认识，也可以说是一个人的“数学世界观”。其中不仅涉及到了对于“什么是数学”、“应当怎样去从事数学研究”、“应当怎样去解决问题”等问题的认识，而且也包括了对“对于自身数学能力的认识”等多种成分。有不少美国数学教育工作者曾从这样的角度对美国学生的“现状”进行过分析，其所得出的结论应当引起我们的高度重视和深刻反思。
例6、一场数学游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行．裁判先在黑板上写出下面的正整数2、3、4、…、2006，然后随意擦去一个数．接下来由乙、甲两人轮流擦去其中的一个数（即乙先擦去其中的一个数，然后甲再擦去一个数，如此轮流下去），若最后剩下的两个数互质，则判甲胜；否则，判乙胜。按照这种游戏规则，求甲获胜的概率。（用具体的数字作答）
解:由于甲、乙都非常聪明，他们获胜的关键是看裁判擦去哪个数。注意到2，3，4，…，2012中有1005个奇数，有1006个偶数；
（1）若裁判擦去的是奇数，此时乙一定获胜。
乙不管甲取什么数，只要还有奇数，就擦去奇数，这样最后两个数一定都是偶数，从而所剩两数不互质，故乙胜；
（2）若裁判擦去的数是偶数，此时甲一定获胜。
设裁判擦去的数是2m，则将所剩的数配成1002对：（2，3），…，（2m－2，2m－1），(2m＋1，2m＋2)， …，(2011，2012).
这样，不管乙取哪一个数，甲就去所配数对中的另一个数，这样最后剩下的两数必然互质，故甲胜。
所以，甲获胜的概率为
二、 阿达玛的数学发明创造的过程
阿达玛把数学发明的整体过程分为四个阶段：一是准备阶段，此时即是有意识的工作，但常常不能得到预期的结果；二是酝酿阶段，即暂时丢开手头上的工作而去干些其他的事情，或者去休息一下而无意识思维却由此开动起来；三是顿悟阶段，此时问题的答案或证明的途径已经出乎意料地突然出现了；四是整理阶段，即将顿悟所感觉到的那些结果严格地加以证明，并将其过程精确化，同时又可为下一步研究作好必要的准备。顿悟是发明的四个阶段中比较神秘的一个阶段，一般认为，突然的醒悟，或者称之为灵感的事，显然是不能由纯粹的机遇所产生的，也就是说，在发明家的突然醒悟之前，还存在着连发明家自己也不知晓的某种心理过程，用一个专门名词来说，这就是无意识过程。
解题，譬如，就好象游泳一样，是一种实际技能。当你学习游泳时，你模 仿其他人的手足动作使头部保持在水面上并最后通过实践(实地练习游泳)来学 会游泳。当试图解题时，你也必须观察并模仿其它人在解题时的所作所为，并 且最后通过实践来学会解题。
希望提高学生解题能力的教师，必须培养学生的兴趣，然后给他们提供大 量的机会去模仿与实践。如果教师想要在他的学生中发展相应于我们表中的问 题与建议的思维活动，那么他就应该尽可能地经常而自然地向学生提出这些问 题和建议。此外，当教师在全班面前解题时，他应当使其思路更吸引人一些， 并且应当向自己提出那些在帮助学生时所使用的相同问题。由于这样的指导， 学生将终于找到使用表中这些问题与建议的正确方法，并且这样做以后，他将 学到比任何具体数学知识更为重要的东西。
例10、从
图1
问共有多少种不同的取法.
解： 一个由四个小方格组成的“田”字形中可以取出4个“L”形，因此我们只需考察棋盘上可以取出多少个“田”字形.由于每个“四”字形的中心是棋盘内横线与纵线的一个交点（不包括边界点）；反过来，每个位于棋盘内部的交点，它四周的小方格恰好形成一个“田”字形图案，因此，映射
例11、在直角坐标平面上，以（199，0）为圆心，以199为半径的圆周上整点的个数为____________.
