专题二 成功解题的基本要素

冒着过于简单化的风险，解题可以理解为“把知识内容连接成一个逻辑链条”，因此，解题首先要有知识基础和组织知识内容的思维能力，同时在调动和配置知识内容时还需要经验与良好的心理．所以，尽管解题的成功取决于我们尚未彻底弄清的多种因素，但最基本的应有：解题的知识因素，解题的能力因素，解题的经验因素和解题的情感因素，这也就是我们常说的解题基本功．

值得注意的是，解题不仅是知识的使用而且也是知识的理解；不仅是能力的运用而且也是能力的培养；不仅是经验的呈现而且也是经验的积累；不仅是情感的表现而且也是情感的养成．一句话，解题不仅仅是基本功的简单体现，而且更是基本功的继续学习（庸者重在输出，智者重在输入），同样是“天天画蛋”，有的人“熟而生厌”、“熟而生笨”，而达芬奇却画出个国际大师．（上面我们说过“数学解题的思维实质是发生数学”，“解题活动的核心价值是掌握数学”．）影响问题解决的要素是指对问题解决过程有着较大影响的一些成分。因为问题解决是一个复杂的心理过程，它需要学生必须对问题的条件进行加工处理，从认识问题的基本关系与特征开始重新组织已知概念、定理，调节问题中基本元素的关系，探索和猜测问题解决的策略和方法。因此，影响问题解决的因素有很多，如知识、经验、动机、信心、思维能力、元认知等，总体说来，可归为以下三类：

（1）经验因素，包括解题者的个人特征和问题的情境要素。如知识结构、关于解题策略的熟悉程度、问题的陈述方式等。

（2）认知因素：如直觉、想象、抽象、概括、推理、分析、综合、元认知等多种智力因素。

（3）情感因素：如关心、欲望、动机、兴趣、意志、信念等非智力因素。

经验因素、认知因素和情感因素三者之间并没有严格的界限，它们是相互联系，相互补充和制约的，其关系如图2—3：

1知识结构

人的思维依赖于必要的知识和经验，数学知识正是数学解题思维活动的出发点与凭借．丰富的知识并加以优化的结构能为题意的本质理解与思路的迅速寻找创造成功的条件．既然，解题就是把知识内容连接成一个逻辑链条，那么，没有知识内容那来的知识逻辑链！

解题研究的一代宗师波利亚说过：“货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本”．每一个希望提高解题效率、获得解题成功的人，都必须下决心，在“知识丰富”与“结构良好”两方面花大力气，下面是几个基本的建议：

（1）熟练掌握数学基础知识的体系．

对于中学数学解题来说，应如数家珍说出教材的概念系统、定理系统、符号系统．还应掌握中学数学竞赛涉及的基本内容与基本方法．

（2）深刻理解数学概念、准确掌握数学定理、公式和法则．

（3）熟悉基本的逻辑规则和常用的解题方法，积累不断涌现的数学技巧．

（4）通过解题实践去深入理解知识与优化认知结构．（少不了勤学苦练）

对于学好数学来说，记住知识还不是最难的（连记都不想记谈不上学好），还要通过解题去深入理解、疏通联系、优化结构．所以，有人说：数学不是教会的，而是学会或做会的．

例1有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件，共需3．15元；若购甲4件、乙10件、丙1件，共需4．20元；现在购甲、乙、丙各一件共需几元？

对于中学生，这是一道非常规的方程问题（字母个数比方程个数多，方程可有无穷解），常见有两种途径将其转化为常规二元方程组的求解．

这两个途径都表现出较强的观察、分析和变形能力，但是，如果有空间解析几何知识的话，那就可以居高临下看出，①，②表示了两个平面，而求解则是确定一个过其交线的平面（求 ）：

这又是一道非常规的方程（方程个数比字母个数多，方程未必有解；回想①，②组成的方程却是字母个数比方程个数多，这是怎么回事？），可解得 ，从而得③中的为

即购甲、乙、丙各1件共需1．05元．

说明没有空间知识作指导，要找到这个解法需要运气；而有空间知识，一切都只不过是逻辑的必然，情况就像小学的应用题用中学的代数方程来处理一样，知识对解题有指导作用．并且，从空间知识出发可进一步思考：

（1）要确定平面③，有平面上的一个点就够了，故又有特殊化解法，令 ,得

（2）空间中的三个平面①，②，③共线，即三元非齐线性方程组有非零解，又可得行列式解法（略）．

说明 这些小例子显示了知识对于解题思路的寻找与解题过程的改进的基础作用．解题基本功的大小，首先取决于知识的多寡、深浅和完善程度，古今中外的数学家无不以渊博的知识而著称．没有知识谈不上解题，古罗马哲学家西塞罗说：“无知是智慧的黑夜，是没有月亮、没有星星的黑夜．”原苏联教育家乌申斯基指出：“智慧不是别的，而是组织得良好的知识体系．”

还要指出，由解题所获得的知识与经验会对以后的解题会产生积极的影响．

2思维能力

思维是人脑对客观现实概括的和间接的反映．数学解题中既有逻辑思维又有非逻辑思维，其主要成分是3种基本的数学能力——运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力，核心是能否掌握正确的思维方法，并表现于发现问题、分析问题、解决问题的敏税、洞察力与整体把握．其基本要求包括：

（1）掌握数学中各种常用的思维方法．（如观察、试验、归纳、演绎、类比、猜想、分析、综合、抽象、概括等）

（2）掌握科学的解题程序．（如弄清题意、拟定计划、执行计划、回顾）

（3）掌握解题的基本策略，能“因题制宜”地选择对口的解题思路，使用有效的解题方法、调动精明的解题技巧．

（4）具有敏锐的直觉．应该明白，我们的数学解题活动是在纵横交错的数学关系中进行的，在这个过程中，我们从一种可能性过渡到另一种可能性时，并非对每一个数学细节都洞察无遗，并非总能借助于“三段论”的桥梁，而是在短时间内朦胧地插上幻想的翅膀、直接飞翔到最近的可能性上，从而达到对某种数学对象的本质领悟．

例3（多项选择题）这里有4张牌，每张牌的一面都写上一个数字，另一面都写上一个英文字母．现在规定:当牌的一面为字母R时，它的另一面必须写数字2．你的任务是：为检验下面的4张牌是否有违反规定的写法，你翻看哪些牌就够了？ 

讲解题目的条件给出了一个命题“ ”，“成立”是“2成立”的充分条件，以此为标准，判断

 哪个地方会出现假命题．所考查的不是具体的数学知识点，而是逻辑推理．

解法1逐一翻每张牌 ,设想背面的各种可能：翻揭，背面是2不违反规定，背面不是2就违反规定，故 应翻看；翻揭，背面是2不违反规定，背面不是2也不违反规定，故 不用翻看；翻揭 ，背面是不违反规定，背面不是 也不违反规定，故 不用翻看；翻揭 ，背面是 违反规定，背面不是 不违反规定，故 应翻看．

综上，应翻看 、 ．

解法2由真值表

知，“ 成立”时，“ ”可真可假， 应翻看；“ 不成立”时，“ ”恒为真， 不用翻看；“2成立”时，“ ” 恒为真， 不用翻看；“2不成立”时，“ ” 可真可假， 应翻看．综上，应翻看 、 ．

说明1此题除了上面介绍的两种求解思路外，还可以从四种命题或充要条件的角度去理解，甚至直接将“ ”代表一个具体数学命题．为了帮助理解,可设想十字路口上“红灯亮了”代表“一面写上英文字母”,而把“行人不过马路”代表“另一面写上数字 2”,检验是否违反规定 ,就成为检验是否“红灯亮时,行人过马路”，违反交通规则,（红灯不亮时，过不过马路都不违反交通规则）．

说明2　此题源于华生选择任务（参见文[7]P．387），1968年的测试“只有5%的大学生做对了这道题”，有33%的被试“翻牌R，而不翻牌7”，有46%的被试“翻了牌 和2”．我们对数学系本科生2001年测试的正确率为23．7%，2007年测试的正确率为65．6%，都比华生1968年的测试通过率高．这也从一个侧面表明，虽然高校扩招会带来学生水平下降的风险，但数学系本科学生的逻辑思维能力仍然稳中有升．

例4 方程未知数范围扩大是方程产生增根的（）．

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）既不充分也不必要条件（D）充分必要条件

讲解这道题目不考具体的解方程知识，而是以方程为载体考思维能力，包括构造反例的能力．据2008年9月高一学生64人的测试，四个选项都有人选，比例最大的是（B）必要而不充分条件：

事实上，对方程 平方，方程未知数范围扩大但没有增根．方程未知数范围扩大不是方程产生增根的充分条件．两边乘以 ，方程未知数范围没有扩大，但方程 产生增根 ．方程未知数范围扩大不是方程产生增根的必要条件．所以，正确答案应选（C），但正确率只有0．29．而选（B）则是学生中的倾向性错觉．这种错觉有的来自学生自身，有的来自教师的影响．　

说明1对比两种解法我们看到了两种思维倾向，证明1着眼于“分”，着眼于“算”，逐一求出了图中各条线段的长度（包括 ），四次用到勾股定理，也用完了题目的所有条件．证明2着眼于“合”，是综合、全面地看条件与条件、条件与结论之间的联系，看出“梯形的上、下底之和等于一腰”，一把抓住“中位线”，不仅一步到位简洁明快，而且使 成为多余条件．两种解法都没有知识上的问题，差异在思维能力上．

说明2证明2相当于证明了结论：“若梯形的上、下底之和等于一腰，则此腰的两个端点与另一腰的中点构成一个直角三角形”．通过延长交于 ，在等腰 中用三合一定理等途径也能证明这个结论，同样无须用到 ．

评析本例涉及的知识不多，解方程或解不等式都不难，但类似的错误很普遍，复杂在逻辑关系上．

1．3．3经验题感

解题具有实践性与探索性的特征，基础知识要通过解题实践来消化，思维素质要通过解题实践来优化，解题方法要通过解题实践来强化．在解题实践中，既会有成功又会有失败，这两方面的积累，都能形成有长久保留价值或借鉴作用的经验．.

所谓解题经验，就是某些数学知识、某些解题方法与某些条件的有序组合，成功是一种有效的有序组合，失败也向我们从反面提供有效的有序组合．成功经验所获得的有序组合，就好像是建筑上的预制构件（或称为思维组块），遇到合适的场合，可以原封不动地把它用上．解题所做的脑力工作就在于回忆他的经验中用得上的东西，并且和他的解题思维联系起来．

弗里德曼在《怎样学会解数学题》中认为“如果我们着手解答一道习题，那么，第一件事就想知道：这是道什么题？它是什么形式，属于哪种类型？换句话说，就是需要识别给定习题的类型．”这就需要平时积累经验与类型．怎么积累呢？弗里德曼在“致读者”中分析学生解了大量的题但还“不开窍”时指出:“这些学生没有在应有的程度上分析所解的习题,不能从中分析出解题的一般方式和方法，解题常常只是为了得个答案”．这就指出了一个途径：通过解题过程的分析来积累经验与类型．

波利亚也说：如果你希望从自己的努力中，取得最大的收获，就要从已经解决了的问题中找出那些对处理将来的问题可能有用的特征（参见文[1]序言）．解题中，“一个好念头的基础是过去的经验和已有的知识．”（参见文[2]P．9）

解题经验的积累，有利于解题念头的诱发，有助于直觉性题感的形成．题感指的是人们对问题的总体性的感受，它是思维定势正迁移的一种潜在表现，实质是一种数学观念、数学意识，常体现为整体的把握及成功思路的预感、预测和预见．如像学外语的“语感”、学音乐的“乐感”．

中学生的解题积累，基本上就是课本上的学习积累，因此，对课本学习内容进行总结归类是积累经验的一个基本途径（总结每一章的作业，弄清一共有几个主要类型，每一类型各有几种解决的方法．）；分析解题过程是又一个积累经验的重要途径．

小经验1：总结每一章的作业，弄清一共有几个主要类型，每一类型各有几种解决的方法．

小经验2：在几何图形的学习中，用“全等法”、“相似法”证题应是两个基本模式．

小经验3：更一般地，大量积累“基本图形”，并在此基础上“截长补短”、“能割善补”是学习几何图形的一个诀窍．每一个重要概念，重要定理都有一个基本图形；“三线八角”可以算一个基本图形；三角形的边长、内角、三角函数、中线、高、角平分线、面积等也组成基本图形．

小经验4：在数与代数的学习中，积累二次方程判别式应用的基本类型，总结根与系数关系的各种形式等．

小经验5：配方法基本模式．总结配方基本形式和配方基本功能．

　　小经验6：由“工程问题”总结“反比例模式”．

例6完成一件工程，甲单独干需要2天，乙单独干需要3天，甲乙一齐干几天完成？

讲解 这是小学时的“工程问题”，几乎没有听说谁做不了的，但解题“不只是为了得个答案”，我们曾从这里提炼出一个解题的“反比例函数模式”．首先，工程问题有基本关系：

工作效率×工作时间=工程总量（定值）．

对这个基本关系作抽象，有

单位量×单位数=总量（定值）．

再作形式化抽象，得

有了工程问题的这些认识，就能对“形异而质同”的问题迅速识别，并提取相应的方法加以解决．比如，下述几个问题都有“工程问题”的共同结构：

例8某公路由上坡、平路、下坡三个等长的路段组成，已知一汽车在各路段上行驶的平均速度分别为，则这部汽车在整段路面上的平均速度为（）

例9、某中学组织学生春游，旅游公司提供了中型客车数辆。最初每辆车乘坐28名人，出发开出一段时间后，发现有一学生迟到没上车.现决定开一辆空车去接他，接回后为赶时间就把这辆空车开走，让所有的人员重新分配，则刚好平均分乘余下的汽车，已知每辆车的载客量不能多于32人，那么原有几辆汽车，这批春游的学生共有多少人?

解：设原有辆汽车，开走一辆空车后，留下的每辆车乘坐n个人，显然k≥2，n≤32．

答：原有车辆30辆，这批春游的学生共有841人.

1．3．4情感态度

这里主要是指良好的心理素质,如动机、兴趣、抱负、态度、品德、意志等．这些非智力因素对于解题的作用，与其对于发明发现的作用是一样的．华罗庚教授说：“聪明在于学习、天才在于积累．”1995年5月，在中国数学会60周年年会上，笔者请国际数学大师陈省身教授谈学数学的体会，大师胸有成竹地说：首先是用功，不用功什么也谈不上．我们说，学生学习数学只有通过自身的情感体验，树立坚定的信心，才能是成功的．

波利亚也说：“认为解题纯粹是一种智能活动是错误的；决心与情绪所起的作用很重要．”他强调说：“教学生解题是意志的教育．当学生求解那些对他来说并不太容易的题目时，他学会了败而不馁，学会了赞赏微小的进展，学会了等待主要的念头，学会了当主要念头出现后全力以赴．如果学生在学校里没有机会尝尽为求解而奋斗的喜怒哀乐，那么他的数学教育就在最重要的地方失败了．”（见文[2]P．92，P．93）

笔者在引述波利亚的这段话时常常补充说：如果同学们在我的课程中，不能尝尽为求解而奋斗的喜怒哀乐，那么，你们最好劝我去干点别的营生，别在这里误人子弟了．

讲解有的书刊说：“所证式即

ab + ac + ad + bc + bd + cd - abc _- abd _- acd - bcd + abcd＞0，

而这是困难的．”

但这里的“困难”却并不“显然”，因为用式中的7个正项去抵消4个负项十分容易：在已知条件下，有1>b＞0,1>c＞0，1>d＞0，从而

ab（1-c）+ ad（1-b）+ ac（1-d）+ bc（1-d）+bd + cd + abcd＞0．

可见，“这是困难的”等于在胜利面前宣布失败．把这个“作差法”写成对应项逐项比较的形式，不仅条理更清晰，而且便于推广．

说明此题的更一般性形式是贝努利不等式（见例1-23-1，例1-23-2）可有多种证法．

例12、已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足：f(1－m)＋f(1－m²)＜0的实数m的取值范围．

解　∵f(x)的定义域为[－2,2]，

∴有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2≤1－m≤2，,－2≤1－m²≤2，))解得－1≤m≤eq \r(3).①

又f(x)为奇函数，且在[－2,0]上递减，

∴在[－2,2]上递减，

∴f(1－m)＜－f(1－m²)＝f(m²－1)?1－m＞m²－1，即－2＜m＜1.②

综合①②可知，－1≤m＜1.

例13、(2011 湖北)里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为__________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．

解析　由lg 1 000－lg 0.001＝6，得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A₉，则lg A₉－lg 0.001＝9解得A₉＝10⁶，同理5级地震最大振幅A₅＝10²，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍．

答案　6　10 000