专题一 数学解题研究基础

前言

数学教育的核心目标之一是培养解决数学问题能力，问题解决已成为国际数学教育研究的热点。《中学数学解题研究》课程通过较高层次的综合性中等数学问题的研究，掌握解题理论的新观点，渗透现代数学的思想方法，研究中学解题中的问题与对策，提升教师的数学专业素养。

本课程与中小学教学实际联系紧密，是中学数学教师必修功课。提高学生数学解题能力成为中小学数学教育的主要目标之一，数学学习离不开问题解决即解题的教学与学习。因为解题是数学理论与实践相结合的产物，所以绝大多数对解题的研究都是从具体问题出发，研究解题能力提高的方法，或者是用具体的案例来证明提高解题能力途径的正确性，本课程研究力图强调通法所体现出的数学思想及数学本质，解题教学对于发展学生的认知结构，增强数学思维能力，培养创造精神起着重要的作用；解题研究对于教师从事数学教学必不可少，作为教师研究解题思想、策略和方法，研究学生解题的心理、研究数学解题理论的最新成果、研究学生解题中的错误和对应策略，研究试题的命题技术和命题规律以及研究解题的教育功能等问题都是中小学数学教育的热点问题。因此，作为教师解题能力以及解题研究能力影响着教学质量和专业素养。

本课程设置分为解题理论、解题实践、解题研究三个模块。解题理论注重数学和心理学基础，为中学数学解题打下双重基础，包括数学问题的类型和解题观、数学解题的模式和教育功能，并研究波利亚、舍费尔德和阿达玛解题的心理学研究；解题实践注重数学解题的通性通法，以数学思想统领解题策略和方法，并在数学美学的基础上研究数学的对称性和统一性，解题研究以教学和研究前沿为主题，注重教学实践和理论前沿，其中教学研究以诊断学生解题错误类型和教学策略为主，解题前沿以开放题、新题型为导向，并深入探究命题背景和命题技术，进而渗透现代数学思想，提升教师数学素养。

学习目标：

1、了解数学解题的教育功能；

2、理解数学题的概念、结构、类型和特征；

3、理解问题解决的内涵；

4、能够判断“好的数学问题”。

5、掌握成功解题的基本要素

问题驱动：

讨论：

（1）数学解题与数学的关系；

（2）判断 “好的数学问题”的标准；

（3）数学解题与创新人才培养的关系。

（4）讨论成功解题的基本要素

一、数学解题的教育功能

波利亚在《数学的发现》中认为:“中学数学教学的首要任务就在于加强解题能力的训练”，解题在数学学习中有不容置疑的重要性。

l.数学解题是数学学习中不可或缺的核心内容，数学解题的思维实质是发生数学，解题促进数学理解。

解题是一种认识活动，是对概念、定理的继续学习，是对方法的继续熟练，而不仅仅是“规则的简单重复”或“操作的生硬执行”寻找解题思路的过程就是寻找条件知识与结论知识之间逻辑联系或转化轨迹的过程，在这个过程中，我们激活知识、检索知识、提取知识、组织知识，使解题与发展同行当解题由一个步骤推进到另一个步骤时，其实学会数学地思维意味着形成一种数学观点——重视数学化的抽象过程，并偏爱运用它们发展运用数学工具的能力，以此来达到理想结构——数学意识形成的目标. 就是知识点之间的联系与生成;当解题由一个关系结构对应到另一个关系结构时(比如由形到数，或由数到形)，其实就是关系结构之间的联系与生成;当解题并列着多个解法时，其实就意味着产生不同解法的知识点之间存在逻辑联系或对应关系

如果说数学教育包含着数学与教育的话，那么数学学习中真正发生数学的地方都无一例外地充满着数学解题活动如上所述，概念的抽象概括、定理的发现证明、习题的探究解答、数学的实际应用等，都是在解题没有解题的数学学习总给人一种尚未深入到实质或尚未进入到高潮的感觉，人们会问，这是数学吗?这是在学数学吗?再说了，我们的青少年需要那种缺少数学概念、缺少数学定理、缺少数学习题、缺少数学应用的数学吗?

把解题仅仅理解为“形式化习题的推理演算”，既缩小了“数学问题”的外延，也缩小了“数学解题”的外延这是一种认识的自我封闭和解题功能的自我削弱。

2.数学解题是数学学习中不可替代的实质活动，解题活动的核心价值是掌握数学，促进数学思维。

如果说学生的数学活动可以有多种形式的话，那么解题就是一种最贴近数学思维的实质性活动概念的生成、定理的理解、技能的熟练、方法的掌握、能力的发展、数学语言的熟悉、数学思想的领悟、数学观点的培养、数学意识的形成、数学文化的积淀等，都离不开解题实践活动没有勤奋而得法的解题训练，谈不上掌握数学!，解题活动是掌握数学、学会“数学地思维”的关键途径所以，波利亚说:“掌握数学就意味着善于解题”是的，“解题不等于数学”，“数学不仅仅是解题”，我们还应该有解题之外的更多数学活动，甚至还应该有更远大、更人

文的数学目标需要追求然而，谁要是由此隐喻“疏于解题也能学好数学”、“不深人数学也能领会数学精神”的话，那他就是在误解数学、离开数学，始作俑者是给数学来个“釜底抽薪”

3.数学解题是评价数学能力时不可削弱的主体构成，解题测试的基本理念是呈现数学，数学解题评价数学能力。

二、数学解题概念的界定

作为数学教育的数学解题与作为数学或数学家的解题是有区别的，本节从数学教育的角度谈数学题和数学解题，并从重要性与特殊性两个方面来看数学教育中的数学解题，以求在数学与教育之间把握一个合理的定位。

1、数学题的基本含义

（1）数学题(简称题)是指数学上要求回答或解释的事情，需要研究或解决的矛盾其之所以成为数学题(而不是语文题或化学题)，还因为它必须运用(或构建)数学概念、理论、方法(数学内容)才能解决。

对数学家而言是仅当命题的真假未被判定时才成为问题，如“哥德巴赫猜想”，而一旦解决了就称之为“定理”(公式)，不成为问题了这更多地体现了“需要研究或解决的矛盾”

我们所考虑的基本上是中学数学教学中的问题在这里需要强调的是，并非课堂上练的例子或学生做的作业才算是“题”，概念的抽象概括、定理的发现证明、数学的实际应用等，都是“题”“如何给出一个非E—语言极限的定义”这就是一个题，张景中院士给出了“极限概念的非ε—语言定义法”就是解了一个题。

（2）波利亚在《数学的发现》中将问题理解为:有意识地寻求某一适当的行动，以便达到一个被清楚地意识到但又不能达到的目的解决问题指的是寻找这种活动.就是说，数学问题是一种需要用行动去解决的情境，这个情境对于解答者来说还不能即刻知道解决的程序或算法，构成认知上的挑战。

（3）威克尔格伦在《怎样解题》中说，我们考虑的所有形式的问题都可以认为由三类信息组成:关于已知条件的信息(已知表达式);关于运算的信息，这些运算从一个或多个表达式推导出一个或多个新的表达式;关于目标的信息(目标表达式>，

（4）奥加涅相在《中小学数学教学法》中将数学问题理解为一种题系统:我们来研究系统（S，R），其中S代表某个主体，R代表构成一个抽象(或具体)系统的集合，我们称集合R为题系统。

（5）“一个(数学)问题是一个对人具有智力挑战特征的、没有现成的直接方法、程序或算法的未解决的情境。”这是在1986年第六届国际数学教育大会的一份报告指出的。数学家只把结论未知的题目称为问题，而在数学教学中，则把结论已知的题目也称为问题，因为相对于学生而言，与数学家所面临的问题情境是相似的。这时候的数学题是指:为实现教学目标而要求师生们进行解答的数学知识系统，包括一个待计算的答案、一个待证明的结论(含定理、公式)、一个待作出的图形、一个待判断的命题、一个待建立的概念、一个待解决的实际问题等。

解题的思维活动，正是从已明确地给予的、已知的东西出发，去发现隐蔽存在的、待求解(证>的结论这是一个积极而生动的发现过程、创造过程。在数学教学中，则把结论已知的命题也称为题，因为它对学生而言，与数学家所面临的问题，情景是相似的，性质是相同的这时候的数学题是指:为了实现教学目标而要求师生们解答的题目，重点在“要求回答或解释的事情”上.内容包一个待进行的运算、一个待推理的证明、一个待完成的作图、一个待建立的概念、一个待论证的定理、一个待解决的实际问题等呈现方式有课堂上的提问、范例、练习和所解决的概念、定理、公式，有学生的作业、测验、考试以及师生共同进行的探究性、研究性课题等。

2、数学题的标准形式包括两个最基本的要素:条件(已知，前提)，结论(未知，求解，求证，求作).解题就是沟通条件与结论之间的联系，又包括解和解题依据

3、数学题的基本类型

数学教学中的数学问题可以按照多种不同的标准进行分类。主要分为以下五大类:按照解题目标将数学问题分为计算题、证明题、作图题和轨迹题等;按照综合程度将数学问题分为单一性题与综合题;按照评分的客观性分为客观性题(选择题、是非题、填空题等)与非客观性题(问答题、论证题等);按照思维的规范程度分为常规题与非常规题;按照思维的发展程度分为封闭型题与开放型题。

4、作为“问题解决”的数学题有一些常见的特征:

（1）接受性：学生有解决它的知识基础和能力基础，题目有激发解题心向的因素(比如趣味性和魅力).

（2）障碍性：“对人具有智力挑战特征”，学生不能直接看出它的解法和答案，需要经过思考、注入创造性才能解决

（3）探究性：“没有现成的直接方法、程序或算法”，学生不能简单模仿现成的公式或常规的套路(非常规性>，需要进行实验、探索、猜想、论证，构建新办法才能解决.

（4）情景性：往往不是形式化的“已知——求解”模式，而常常是给出一种实际情境，需要建立相关数学模型来解决隐含的数学问题可由学生自己去提出、求解并作出解释

(5)开放性条件可以冗余，答案不必唯一(也可以无终极的答案)，方法能够多样，各种水平的学生都有机会由浅入深地作出回答，发散性思维特征突出

例1看图说故事。

如图，设计两个不同问题情境，使情境中出现的一对变量，满足图示的函数关系。结合图像，讲出这对变量的变化过程的实际意义。

[说明] 通过这个活动，激发学生自己思考并构造出满足特定关系的函数实例，以加深对函数理解。

学生可以设计多种情境，比如，把这个图看成“小王跑步的s-t图”，可以说出下面的故事：小王以常速度400米/分，跑了5分，在原地休息了6分，然后以常速度500米/分，跑回出发地。

再比如：有一个容积为2升的开口空瓶子，小王以常速度0.4升/秒，向这个瓶子注水，灌了5秒后停水，等6秒后，然后以常速度0.5升/秒，倒空瓶中水。

老师可以鼓励学生，创设不同的符合函数关系和实际情况的情境。

例2 利用树叶的特征对树木分类。

（1）收集三种不同树的树叶，每种树叶的数量相同，比如，每种树选10片树叶。

（2）分类测量每种树叶子的长和宽，列表记录所得到的数据。

（3）分别计算出树叶子的长宽比，估计每种树树叶的长宽比。

（4）验证估计的结果。

[说明] 我们可以抓住树的某些特征对树进行分类，本例是利用树叶的数据特征来对树进行分类。

本活动适用本学段的各个年级，要求可以不同。学生先通过数据收集和分析知道一些树的树叶的长与宽的比；对于新采集到的树叶，通过长与宽的比来判断这个树叶是属于哪种树。这一学习活动有利于培养学生的数据分析意识，体会有许多事情，通过数据分析可以抓住本质。知道数据不仅仅是别人提供的，还可以自己收集；对于同一种树，叶子长与宽的比也可能是不一样的，进一步感受数据的随机性；体会只要有足够的数据，就能够分析出一些规律性的结论。这个问题可以举一反三。

例3 “糖水加糖变甜了”(糖水未饱和)，请以这一生活常识为背景提炼出一个数学命题，然后给出严格的数学证明。

这是一个好问题:

(1)来源于日常生活中再简单不过的常识(幼儿园小孩子都知道的生活现象>，沟通生活与数学的联系非常自然但是，“糖水”里有数学吗?能提炼出数学命题吗?能提炼出什么数学命题呢?如此等等，思维的齿轮启动了，趣味性、启发性与探究性都有了.

(2)含有“真分数不等式”的必要因素与必要形式，提供了一个简单而又典型的“数学建模”过程:若

(3)可以有分析法、综合法、反证法、放缩法、构造图形、构造定比分点、构复数、构造函数等IO多种证明方法，十分典型

(4)情境本身有很大的拓展空间、

4、数学解题的基本含义

美国数学家哈尔莫斯(P.R.Hal田os)认为，问题是数学的心脏.他说:“数学究竟是由什么组成的?定理吗?证明吗?概念?定义?理论?公式?诚然，没有这些组成部分，数学就不存在，这些都是数学的必要组成部分，但是，它们中的任何一个都不是数学的心脏，这个观点是站得住脚的，数学家存在的主要理由就是解决问题因此，数学的真正的组成部分是问题和解”

（1）解题就是“解决问题”，即求出数学题的答案这个答案在数学上也叫做“解”，所以，解题就是找出题的解的活动小至一个学生算出作业的答案，一个教师讲完定理的证明，大至一个数学课题得出肯定或否定的结论，一个数学技术应用于实际、构建出适当的模型等，都叫做解题.

（2）波利亚在《数学的发现》中认为解题“就是在原先是隔开的事物或想法(已有的事物与要求的事物、已知量和未知量、假设与结论) 之间去找出联系……这种联系就像一座桥……像是一条由一系列结论组成的链”.波利亚有一

句名言—“掌握数学就意味着善于解题”，在这里，“解题”近于“掌握数学”的同义语

三、数学问题解决

需要指出的是，现代兴起的“问题解决”(Problem solving)比传统意义上的“解题”有很大的发展(与着眼于“应试”，突出“题型+解法”的“题海战术”更是不可同日而语).传统意义上的解题，比较注重结果，强调答案的确定性，偏爱形式化的题目.而现代意义上的“问题解决”，则更注重解决问题的过程、策略以及思维的方法，更注重解决问题过程中情感、态度与价值观的培养，强调过程与结果并重

一个学生拿到一道习题之后，通过翻看习题集得到了答案(当然这个答案是正确的)，从形式上看他的问题解决了，而从“问题解决”的观点看来，这是一个缺少过程、缺少体验的“结果”，并未达到“过程与结果并重”的目标同样，一个教师讲解一条几何定理时，没有任何知识的发生过程，小黑板一挂、课件一投影，辅助线作好了，证明和盘托出了，也是一个不成功的“解题”在问题解决的观点看来，解题应像攀登珠穆朗玛峰、徒步从一个营地跋涉到另一个营地，而不是旅游、坐着轿车从一个景点玩到另一个景点

那么，什么是数学问题解决呢?比较典型的观点有：

1.问题解决是心理活动，指的是人们在日常生活和社会实践中，面临新情境、新课题，发现它与主客观需要的矛盾而自己却没有现成对策时，所引起的寻求处理办法的一种心理活动。

2.问题解决是一个过程，美国全国数学管理者大会(NCSM>在《21世纪的数学基础》(1988)中，把“问题解决”定义为“将先前已获得的知识用于新的、不熟悉的情境的过程”这就是说，问题解决是一个发现的过程、探索的过程、创新的过程。

3.问题解决是一个目的，美国全国数学管理者大会(NCSM>在《21世纪的数学基础》中认为:“学习数学的主要目的在于问题解决.” 因而，学习怎样解决问题就成为学习数学的根本原因此时，问题解决就独立于特殊的问题，独立于一般过程或方法，也独立于数学的具体内容。

4.问题解决是一种能力，即那种把数学用于各种情况的能力美国全国数学管理者大会(NCSM)把解决问题的能力列为IO项基本技能之首重视问题解决能力的培养、发展问题解决的能力，其目的之一是，在这个充满疑问、有时连问题和答案都不确定的世界里，学习生存的本领。

5.当前国内数学教育界一个比较接受的看法是指:综合地、创造性地运用各种数学知识去解决那种并非单纯练习题式的问题，包括实际问题和源于数学内部的问题.而以“问题解决”作为数学教育的中心，则是指应当努力帮助学生学会“数学地思维”。

上述各种看法，在形式上似乎并不一致，但它们有本质上的共同点，即在教学中为学生提供一个发现、创新的环境与机会，为教师提供一条培养学生解题能力、自控能力和应用数学知识能力的有效途径。

四、成功解题的基本要素

解题的成功取决于多种因素，其中最基本的有:解题的知识因素、解题的能力因素、解题的经验因素和解题的非智力因素，这也就是我们常说的解题基本功。

1、知识结构

古罗马哲学家西塞罗说:“无知是智慧的黑夜，是没有月亮、没有星星的黑夜”苏联教育家乌申斯基指出:“智慧不是别的，而是组织得良好的知识体系”。人的思维依赖于必要的知识和经验，数学知识正是数学解题思维活动的出发点与凭借.丰富的知识并加以优化的结构@为题意的本质理解与思路的迅速寻找创造成功的条件解题研究的一代宗师波利亚说过:“货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本”每一个希望提高解题效率、获得解题成功的人，都必须下决心，花大力气去做到下述3个基本要求:

（1）熟练掌握数学基础知识的体系

对于中学数学解题来说，应能如数家珍说出教材的概念系统、定理系统、符号系统，还应掌握中学数学竞赛涉及的基本内容与基本方法。

（2）深刻理解数学概念，准确掌握数学定理、公式和法则，

（3）熟悉基本的逻辑规则和常用的解题方法，积累不断涌现的数学技巧，

2、思维能力

解题能力，表现在发现问题、分析问题、解决问题的敏锐性、洞察力与整体把握其主要成分是3种基本的数学能力(运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力)，核心是能否掌握正确的思维方法，泡括逻辑思维与非逻辑思维其基本要求包括:

（1）熟悉基本的逻辑方法

（2）掌握科学的解题程序

（3）掌握数学中各种常用的思维方法，如观察、试验、归纳、演绎、类比、猜想、分析、综合、抽象、概括等。

（4）掌握解题的基本策略，能“因题制宜”地选择对口的解题思路，使用有效的解题方法、调动精明的解题技巧

（5）具有敏锐的直觉应该明白，我们的数学解题活动是在纵横交错的数学关系中进行的，在这个过程中，我们从一种可能性过渡到另一种可能性时，并非对每一个数学细节都洞察无遗，并非总能借助于“三段论”的桥梁，而是在短时间内朦胧地插上幻想的翅膀，直接飞翔到最近的可能性上，从而达到对某种数学对象的本质领悟经验题感。

解题具有实践性与探索性的特征，基础知识要通过解题实践来消化，思维素质要通过解题实践来优化，解题方法要通过解题实践来强化在解题实践中，既会有成功又会有失败，这两方面的积累，都能形成有长久保留价值或借鉴作用的经验

3、经验

波利亚也说:“如果你希望从自己的努力中，取得最大的收获，就要从已经解决了的问题中找出那些对处理将来的问题可能有用的特征”。解题中，“一个好念头的基础是过去的经验和已有的知识”。

所谓解题经验，就是某些数学知识、某些解题方法与某些条件的有序组合，成功是一种有效的有序组合，失败也为我们从反面提供有效的有序组合成功经验所获得的有序组合，就好像是建筑上的预制构件(或称为思维组块)，遇到合适的场合，可以原封不动地把它用上.解题所做的脑力工作就在于回忆他的经验中用得上的东西，并且和他的解题思维联系起来.

弗里德曼在《怎样学会解数学题》中认为:“如果我们着手解答一道习题，那么，第一件事就想知道:这是道什么题?它是什么形式?属于哪种类型?换句话说，就是需要识别给定习题的类型”，这就需要平时积累经验与类型怎么积累呢?弗里德曼在“致读者”中分析学生解了大量的题但还“不开窍”时指出:“这些学生没有在应有的程度上分析所解的习题，不能从中分析出解题的一般方式和方法，解题常常只是为了得个答案”这就指出了一个途径:通过解题过程的分析来积累。

4、情感态度

这里主要是指良好的心理素质，如动机、兴趣、抱负、态度、品德、意志等这些非智力因素对于解题的作用，与其对于发明发现的作用是一样的华罗庚教授说:“聪明在于学习，天才在于积累”l999年5月，在中国数学会60周年年会上，笔者请国际数学大师陈省身教授谈学数学的体会，大师胸有成竹地说:“首先是用功，不用功什么也谈不上”我们说，学生学习数学只有通过自身的情感体验，树立坚定的信心，才能是成功的

波利亚也说:“认为解题纯粹是一种智能活动是错误的;决心与情绪所起的作用很重要”他强调说:“教学生解题是意志的教育当学生求解那些对他来说并不太容易的题目时，他学会了败而不馁，学会了赞赏微小的进展，学会了等待主要的念头，学会了当主要念头出现后全力以赴如果学生在学校里没有机会尝尽为求解而奋斗的喜怒哀乐，那么他的数学教育就在最重要的地方失败了”。

小结

美国数学家哈尔莫斯认为:“数学家存在的主要理由就是解问题”，“数学的真正的组成部分是问题和解”。对于职业数学工作者来说，“题”是研究的对象，“解”是研究的目标，解题是其数学活动的基本形式和主要内容，解题也是他的存在目的和兴奋中心而对数学教学而言，并不是要把所有的学生都培养成职业数学

工作者，更多的人是通过数学内容的学习、数学推理的训练、数学精神的陶冶、数学文化的哺育，开发智力、促进发展因而数学教育中的数学解题不仅具有“数学性质”(与职业数学工作者有联系)，而且具有“教育性质”(与职业数学工作者有区别).

(1)关于题:数学家解客观上结论未知的题，教学解题解客观上结论已知、而学生主观上未知的题；

(2)关于解题:数学家解题是发现和创造的过程，教学解题是师生再发现与再创造的过程；

(3)关于解题目的:数学家把“题”作为研究的对象，把“解”作为研究的目标，而教学解题不仅要把“题”作为研究的对象，把“解”作为研究的目标，而且要把“解题活动”作为对象，把学会“数学地思维”、促进人的发展作为目标。数学教师不同于数学家的一个方面就在于，数学教师的主要任务不是要去创造数学概念，而是要创造概念的数学理解，把数学的“学术形态”转变为“教育形态”，使数学成为儿童可以接受的东西，使得新知识能够在原有知识经验的基础上建立起来，使得人人都有机会享受到高水平的数学。

所以，解题教学的基本含义是，通过典型数学题的学习，去探究数学问题解决的基本规律，学会像数学家那样“数学地思维”。