定义

xj表未知量，aij称系数，bi称常数项。

称为系数矩阵和增广矩阵。若x1=c1，x2=c2，…，xn=cn代入所给方程各式均成立，则称（c1，c2，…，cn）为一个解。若c1，c2，…，cn不全为0，则称（c1，c2，…，cn）为非零解。若常数项均为0，则称为齐次线性方程组，它总有零解（0，0，…，0）。两个方程组，若它们的未知量个数相同且解集相等，则称为同解方程组。线性方程组主要讨论的问题是：

①一个方程组何时有解。

②有解方程组解的个数。

③对有解方程组求解，并决定解的结构。这几个问题均得到完满解决：所给方程组有解，则秩(A）=秩（增广矩阵）；若秩(A）=秩=r，则r=n时，有唯一解；r<n时，有无穷多解；可用消元法求解。

当非齐次线性方程组有解时，解唯一的充要条件是对应的齐次线性方程组只有零解；解无穷多的充要条件是对应齐次线性方程组有非零解。但反之当非齐次线性方程组的导出组仅有零解和有非零解时，不一定原方程组有唯一解或无穷解，事实上，此时方程组不一定有 ，即不一定有解。

克莱姆法则（见行列式）给出了一类特殊线性方程组解的公式。n个未知量的任一齐次方程组的解集均构成n维空间的一个子空间。

解法

①克莱姆法则：用克莱姆法则求解方程组 有两个前提，一是方程的个数要等于未知量的个数，二是系数矩阵的行列式要不等于零。用克莱姆法则求解方程组实际上相当于用逆矩阵的方法求解线性方程组，它建立线性方程组的解与其系数和常数间的关系，但由于求解时要计算n+1个n阶行列式，其工作量常常很大，所以克莱姆法则常用于理论证明，很少用于具体求解。

②矩阵消元法：将线性方程组的增广矩阵通过行的初等变换化为行简化阶梯形矩阵 ，则以行简化阶梯形矩阵为增广矩阵的线性方程组与原方程组同解。当方程组有解时，将其中单位列向量对应的未知量取为非自由未知量，其余的未知量取为自由未知量，即可找出线性方程组的解。

关于未知量是一次的方程组，其一般形式为

式中x1，x2，…，xn代表未知量，αij(1≤i≤m,1≤j≤n)称为方程⑴的系数，bi(1≤i≤m）称为常数项。系数和常数项都是任意的复数或某一个域的元素。

当常数项b1，b2，…，bn都等于零时，则方程组⑴称为齐次线性方程组。

方程组⑴的系数所构成的m行n列矩阵

称为方程组⑴的系数矩阵。在A中添加由常数项组成的列而得到一个m行n+1列矩阵

称为方程组⑴的增广矩阵。

如果在方程组⑴中，以一组复数或域F的元素с1,с2，…，сn代替未知量x1，x2，…，xn，每一个方程的两端相等，那么с1，с2，…，сn称为方程组⑴的一个解。

关于线性方程组，有以下主要结果。

①线性方程组⑴有解的充分必要条件是，系数矩阵A与增广矩阵都有相同的秩。

②在A与都有相同的秩r>0的情形下，A有一个r阶子式D不等于零，设

于是方程组⑴与仅含有前r个方程的方程组同解。可将前r个方程改写为

方程组⑵的一般解公式为　x1=D1/D,x2=D2/D，…，xr=Dr/D，　⑶

式中Dj(j=1,2，…，r）是把D的第j列换成方程组⑵的右端的列所得到的一个r阶行列式，即

因而x1,x2，…，xr可由其余的未知量xr+1,xr+2，…，xn线性表出，xr+1，xr+2，…，xn称为自由未知量。

当r<n时，则任意给自由未知量的一组值，由⑶可求出x1，x2，…，xr的值即方程组⑴的一个解，此时方程组⑴的解不只一个。当r=n时，则方程组⑵不含自由未知量，由⑶给出方程组⑴的惟一解。当m=n=r时，公式⑶称为克莱姆规则。

线性方程组是最简单也是最重要的一类代数方程组。大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组，因此线性方程组的数值解法在计算数学中占有重要地位。