第八节 R软件的应用
一、确定给定精度实验的最小样本数
例9.9 计算构建二尾置信区间
，
的实验样本数？
当
，
，由下式
（9-9）
得
再看一下
，得
最后，
，得
因此，
，稍作修改，我们可以使用R内置函数power.t.test。用
表示功效，当
很大时，因
，修改（9-9）式为
（9-10）
使用R内置函数power.t.test进行计算：
> power.t.test(type = "one.sample", power =0.5, delta = 0.25,
+ sd = 1,sig.level = 0.05, alternative = "two.sided")
One-samplet test power calculation
n =63.4024
delta = 0.25
sd = 1
sig.level = 0.05
power =0.5
alternative = two.sided
为了方便起见，我们提供了一个调用包装器size.t.test，它返回所需的整数大小参数：
> size.t.test(type = "one.sample", power =0.5, delta = 0.25,
sd = 1, sig.level = 0.05, alternative ="two.sided")
[1] 64
因此，我们确定样本量为64。
例如，如果我们随机抽取大小为20的样本，则使用我们的调用包装器到R内建函数delta.t.test给定的半期望宽度
，可以通过以下方式计算：
> delta.t.test(type = "one.sample", power =0.5, n = 20, sd = 1,
+ sig.level = 0.05, alternative = "two.sided")
[1] 0.4617063
另一方面，如果精度要求声明两个结果限制不能超过
，从参数
以给定的概率，那么，我们必须选择两尾检测：
（9-11）
例9.10 我们计算构建双侧置信区间所需的样本量，使用精度要求类型B：
> size.t.test(type = "one.sample", power =0.95, delta = 0.25,
+ sig.level = 0.05, alternative = "two.sided")
[1] 210
例9.11如果我们想要确定配对实验观测的大小，以便间隔的一半期望宽度不能大于
，我们使用
的标准差
的估计值作为先验信息。手工进行计算，我们从开始；
。那么我们得到
，
；
；
；
；
；
，因此需要27个数据对。
在我们的OPDOE中使用我们的调用封装器size.t.test：
> size.t.test(type = "paired", power = 0.5,delta = 1.2,
+ sd = 3.653, sig.level = 0.05, alternative ="one.sided")
[1] 27
因此，我们确定样本对数为27。
例9.12 我们希望找到一个实验的最小样本数，以构造两个正态分布的期望差异的双侧99％置信区间。我们假设等方差，并从每个群体中取出独立样本，并通过使用（9-12）来确定精度，而对于精度类型B，
，使用（9-13）来确定精度。
（9-12）
（9-13）
该计算可以分别通过R内置函数power.t.test和调用包装器size.t.test来完成。使用（9-12）可得：
>size.t.test(power = 0.5, sig.level = 0.01, delta = 0.5,
+ sd = 1,type = "two.sample")
[1] 55
使用（9-13）可得：
size.t.test(power= 0.97, sig.level = 0.01, delta = 0.5,
+ sd = 1,type = "two.sample")
[1] 161
备注：如果不能确定两个方差是否相等，那么应该使用下面描述的不等方差的置信区间，正如Rasch等人所建议的那样。
二、概率的置信区间
让我们假设n个独立的实验，其中每个事件都以相同的概率p发生。 对于p的一个
置信区间可以根据这个事件的观测值的个数y来计算为
，下界
和
上界分别由下式给出。
（9-14）
（9-15）
是具有
和
自由度的F分布的P分位数。当我们使用误差传播定律推导出半期望宽度时，只需要获得所需样本量的近似值。为了近似确定最小样本大小，对p使用近似置信区间的半期望宽度似乎更好。这种间隔由下式给出
（9-16）
这个间隔有近似一半的期望宽度
。这个要求小于得出：
（9-17）
如果对p没有什么了解，我们必须采取最不利的情况p = 0.5，这给出了最小样本量的最大值。 在本章以及方差分析中，这被称为最大值大小（maximinsize）。 计算可以通过OPDOE的函数size.prop.confint完成。
例9.13对于事件A的概率p = P（A），我们需要一个置信区间：“铸铁是有缺陷的”。置信度系数被规定为0.90。如果间隔的期望宽度为：
a）不大于
，p未知？
b）不大于，当已知至多有10％的铸件存在缺陷时？
则需要实验多少个铸件？
对于R程序给出所需样本大小为n = 271的情况。如果根据先验知识，我们可以设置p =0.1的上限（情况b），那么我们得到较小最小样本n = 98：
>size.prop.confint(p = NULL, delta = 0.05, alpha = 0.1)
[1]271
>size.prop.confint(p = 0.1, delta = 0.05, alpha = 0.1)
[1]98
差异或更好的标准差是尺度参数；因此，我们用比率替换距离。 一个正态分布的方差
的置信区间，其
置信系数为：
（9-18）
和
是具有n-1自由度的
分布的分位数。一半的期望宽度是
（9-19）
则
（9-20）
如果我们将精确度定义为置信区间的相对一半期望宽度
与
定义为期望的区间中点，然后
（9-21）
计算可以通过OPDOE函数size.variance.confint完成。
例9.13 如果，方差的置信区间的一半期望宽度被固定为
和，那么我们需要n = 132个观测值。如果我们要求
和，那么我们需要n = 120个观察值。
>size.variance.confint(alpha = 0.05, delta = 0.25)
$n
[1] 132
$alpha
[1] 0.05
$delta
[1] 0.25
$deltarel
NULL
>size.variance.confint(alpha = 0.05, deltarel = 0.25)
$n
[1] 120
$alpha
[1] 0.05
$delta
NULL
$deltarel
[1] 0.25
例9.14考虑选择a = 6的正态分布的情况，如果方差相等，但未知。多元独立分布样本
，样本大小为
。我们如何选择符合以下给出的精度要求的样本大小，
和
，如果我们应用Bechhofer的选择规则：“选择具有最大样本均值的总体”，R程序给出了以下解决方案：
>size.selection.bechhofer(a = 6, beta = 0.01, delta = 1,
+ sigma =NA)
[1] 17
本章中的R程序必须理解如下。在写出要确定的内容之后，名字以大小开始；这可能是n，但也可以是混合模型中随机因子水平的数量（比如说a）。下一个位置是分类（单向，双向或三向）和分类类型（交叉，嵌套或混合）；下一个条目是模型编号（相应部分文本中的编号）。下一个条目是要实验的要素或因素水平组合；例如，a，b或c分别表示因子A，B或C，a
b表示相互作用AB。然后遵循精确度要求，包括固定因子水平，最后说明我们是否要计算minimin或maximin的大小。
例如“>size_b.three_way_mixed_cxbina.model_4_a（0.05,0.1,0.5,4,maximin）”意味着我们计算三向混合分类C中的随机因子B的级数的最大值
，模型4实验因子A的影响，C有4个等级，计算的R程序为size_n.one_way.model_1()。
>size_n.one_way.model_1(0.05, 0.1, 2, 4, "maximin")
[1] 9
>size_n.one_way.model_1(0.05, 0.1, 2, 4, "minimin")
[1] 5
因此，R的输出给出最小最小样本数
和最大最小尺寸样本数
。如果随机模型II为
，
（单向ANOVA模型）。
例9.15 我们想要实验六个小麦品种在其产量中没有差异的零假设。对于这个实验，我们可以在四个实验站（简称农场）的每一个处为每个品种使用多个块。这些品种是固定因子A的水平，并且这四个农场也被认为是（块）因子B的固定水平，因为这4个实验站用于这种调查。让我们把精度要求作为I型错误概率；如果
，II型错误概率
。
>size_n.two_way_cross.model_1_a(0.05, 0.1, 1, 6, 4, "maximin")
[1] 9
>size_n.two_way_cross.model_1_a(0.05, 0.1, 1, 6, 4, "minimin")
[1] 4
因此，
和。
