第七节 正交设计

    在动物实验中，对于单因素或双因素检验，由于其因素少，检验设计，实施和分析相对简单。然而，在实际工作中，通常需要同时检查3个或更多的实验因素，并且如果进行全面实验，则实验的规模将很大，这通常难以实施，因为 实验条件的局限性。正交设计是一种高效率的实验设计方法，它安排了多因素实验并寻求最佳水平组合。

一、正交设计的基本概念  正交设计是一种使用正交表来排列和分析多因素实验的设计方法。它采用整个横向组合的实验来选择一些有代表性的横向组合实验，通过分析这部分实验结果来了解整体实验情况，找到最佳组合水平。

       例如，影响某品种鸡的生产性能有3个因素：A因素是饲料配方，分A1、A2、A3 3个水平；B因素是光照，分B1、B2、B3 3个水平；C因素是温度，分C1、C2、C3 3个水平。这是一个3因素3水平的实验，各因素的水平之间全部可能的组合有27种。如果实验方案包含所有因素的所有水平组合，即进行全面实验，我们可以分析每个因素的影响，进行交互，并选择最佳水平组合。这是一个综合实验的优势。但综合实验包含大量横向组合，工作量大，由于考点，实验动物，资金等限制而难以实施。如果实验的目的是找到最佳水平组合，则可以使用正交设计来安排实验。正交设计的基本特点是：部分实验取代综合实验，通过分析一些实验结果来了解全面实验。由于正交实验是用部分实验代替综合实验，所以不可能在整个实验中分析各个因素的影响和相互作用，并且当存在相互作用时，可能存在混合作用。虽然正交设计存在上述缺点，但通过实验可以找到最佳水平组合，因此受到实际工人的青睐。

       如对于上述3因素3水平实验，若不考虑交互作用，可利用正交表L9(34)安排，实验方案仅包含9个水平组合，就能反映实验方案包含27个水平组合的全面实验的情况，找出最佳的生产条件。

       二、正交设计的基本原理  在试用安排中，每个因素在研究范围内选择几个级别，比如在选择区域播放电网，如果互联网上的每一个点都做了实验，就是一个全面的实验。如上例中，其实验方案如表9-20所示。

表9-20  3因素3水平全面实验方案                                                                                     

		C1	C2	C3
A1	B1	A1B1C1	A1B1C2	A1B1C3
	B2	A1B2C1	A1B2C2	A1B2C3
	B3	A1B3C1	A1B3C2	A1B3C3
A2	B1	A2B1C1	A2B1C2	A2B1C3
	B2	A2B2C1	A2B2C2	A2B2C3
	B3	A2B3C1	A2B3C2	A2B3C3
A3	B1	A3B1C1	A3B1C2	A3B1C3
	B2	A3B2C1	A3B2C2	A3B2C3
	B3	A3B3C1	A3B3C2	A3B3C3

3因素3水平的全面实验水平组合数为33=27，4因素3水平的全面实验水平组合数为34=81，5因素3水平的全面实验水平组合数为35=243，这在动物实验中是不可能做到的。正交设计就是从选优区全面实验点（水平组合）中挑选出有代表性的部分实验点（水平组合）来进行实验。

三、正交设计方法

例9.7 在进行矿物质元素对架子猪补饲实验中，考察补饲配方、用量、食盐3个因素，每个因素都有3个水平。试安排一个正交实验方案。

       正交设计一般有以下几个步骤：

（一）确定因素和水平  影响实验结果的因素很多，我们不能通过实验考虑所有要研究的因素，只是根据以往的经验，选择和确定了一些实验指标对更大的经济意义影响最大，并了解不够清楚的因素来研究。同时，根据实际经验和专业知识，列出各因素的适当水平，因素水平列表。例9.7的因素水平表如表9-22所示。

表9-22  架子猪补饲实验因素水平表                                 

水    平	因             素
	矿物质元素补饲配方(A)	用   量(g)(B)	食   盐(g)(C)
1	配方I(A1)	15(B1)	0(C1)
2	配方II(A2)	25(B2)	4(C2)
3	配方III(A3)	20(B3)	8(C3)

       （二）选用合适的正交表  在确定因素及其水平之后，根据需要调查的因素，水平和相互作用的数量来选择适当的正交表格。使用正交表的原理是：有必要整理所有实验因素，并尽可能少地使一些水平组合数（处理数）。一般来说，实验因子的水平数应该与正交表符号的方括号中的基数完全相等；因子（包括相互作用）的数量不应大于正交表格记法中括号内的指数，并且每个因子和相互作用的自由度之和小于所选正交表的总自由度为了估计实验错误。如果每个因子的自由度和相互作用的总和等于所选择的正交表的总自由度，则可以使用重复的正交实验来估计实验误差。

（三）表头设计  当选择正交表时，可以执行表头设计。所谓表格头部设计，就是选择因素并考察表格头部正交表格之间的相互作用。当未检查交互时，每个因子可以随机排列在每一列上，如果调查交互，则应根据正交表的交互列表排列每个因子和交互。此例不考察交互作用，可将矿物质元素补饲配方(A)、用量(B)和食盐(C)依次安排在L9(34)的第1、2、3列上，第4列为空列，见表9-23。

表9-23  表头设计                   

列    号	1	2	3	4
因    素	A	B	C	空

       （四）列出实验方案  通过将正交表中的每个数字改变为每列中的因子的实际水平（其不包含待研究的交互列）来获得正交实验方案。表9-24是例9.4的正交实验方案。

       根据表9-24，1号实验处理是A1B1C1，即配方I、用量15g、食盐为0；2号实验处理是A1B2C2，即配方II、用量25g、食盐为4g，…；9号实验处理为A3B3C2，即配方III、用量20g、食盐4g。

表9-24  正交实验方案                                                                                       

试   验   号	因        素
	A	B	C
	1	2	3
1	1(配方I)	1(15)	1(0)
2	1(配方I)	2(25)	2(4)
3	1(配方I)	3(20)	3(8)
4	2(配方II)	1(15)	2(4)
5	2(配方II)	2(25)	3(8)
6	2(配方II)	3(20)	1(0)
7	3(配方III)	1(15)	3(8)
8	3(配方III)	2(25)	1(0)
9	3(配方III)	3(20)	2(4)

四、正交实验结果的统计分析

       正交实验可分为正交实验和重复观察值两种，根据单次观测值或每次实验的重复观测值。如果每个数字实验中只有一个观测值，则称为个体观测值的正交检验，如果每个数字检验处理有两个或两个以上观测值，则称为重复观测的正交检验。下面介绍了个人观察结果的差异分析和重复观测的正交实验结果。

（一）单独观测值正交实验结果的方差分析  对例9.7用L9(34)安排实验方案后，各号实验只进行一次，实验结果（增重）列于表9-17。试对其进行方差分析。

该次实验的9个观测值总变异由A因素、B因素、C因素及误差变异四部分组成，因而进行方差分析时平方和与自由度的划分式为：

                      （9-6）                

    用n表示实验（处理）号数；a、b、c表示A、B、C因素各水平重复数；ka、kb、kc表示A、B、C因素的水平数。本例，n=9、a=b=c=3、 ka=kb=kc=3。 

表9-25 正交实验结果计算表                                                                                                             

实验号	因       素			增重(kg)
	A	B	C
	(1)	(2)	(3)
1	1	1	1	63.4 (y1)
2	1	2	2	68.9 (y2)
3	1	3	3	64.9 (y3)
4	2	1	2	64.3 (y4)
5	2	2	3	70.2 (y5)
6	2	3	1	65.8 (y6)
7	3	1	3	71.4 (y7)
8	3	2	1	69.5 (y8)
9	3	3	2	73.7 (y9)
T1	197.2	199.1	198.7	612.1(T)
T2	200.3	208.6	206.9
T3	214.6	204.4	206.5
	65.7333	66.3667	66.2333
	66.7667	69.5333	68.9667
	71.5333	68.1333	68.8333

表9-17中，Ti为各因素同一水平实验指标（增重）之和。

如A因素第1水平T1=y1+y2+y3=63.4+68.9+64.9=197.2；

A因素第2水平T2=y4+y5+y6=64.3+70.2+65.8=200.3；

A因素第3水平T3=y7+y8+y9=71.4+69.5+73.7=214.6；

B因素第1水平T1=y1+y4+y7=63.4+64.3+71.4=199.1，……，B因素第3水平T3=y3+y6+y9=64.9+65.8+73.7=204.4。同理可求得C因素各水平实验指标之和。

为各因素同一水平实验指标的平均数。如A因素第1水平=197.2/3=65.7333，A因素第2水平=200.3/3=66.7667，A因素第3水平=214.6/3=71.5333。同理可求得B、C因素各水平实验指标的平均数。

       1.计算各项平方和与自由度

       矫正数         C=T2/n=612.12/9=41629.6011

总平方和       SST=Σy2-C

=63.42+68.92+…+73.72-41629.6011=101.2489

A因素平方和   SSA=ΣT2A/a-C

=(197.22+200.32+214.62)/3-41629.6011=57.4289

B因素平方和   SSB=ΣT2B/b-C

=(199.12+208.62+204.42)/3-41629.6011=15.1089

C因素平方和   SSC=ΣT2C/c-C

=(198.72+206.92+206.52)/3-41629.6011=14.2489

误差平方和     SSe=SST-SSA-SSB-SS

C=101.2489-57.4289-15.1089-14.2489=14.4622

总自由度       dfT=n-1=9-1=8

    A因素自由度   dfA=ka-1=3-1=2

    B因素自由度   dfB=kb-1=3-1=2

    C因素自由度   dfC=kc-1=3-1=2

    误差自由度    dfe=dfT-dfA-dfB-dfC=8-2-2-2=2

       2.列出方差分析表，进行F检验

表9-26  方差分析表                                                                       

变异来源	SS	df	MS	F	F0.05(2, 2)
配方(A)	57.4289	2	28.71	3.97ns	19.00
用量(B)	15.1089	2	7.55	1.05ns
食盐(C)	14.2489	2	7.12	<1
误差	14.4622	2	7.23
总变异	101.25	8

F检验结果表明，三个因素对增重的影响都不显著。究其原因可能是本例实验误差大且误差自由度小（仅为2），使检验的灵敏度低，从而掩盖了考察因素的显著性。由于各因素对增重影响都不显著，不必再进行各因素水平间的多重比较。此时，可直观地从表9-17中选择平均数大的水平A3、B3、C2组合成最优水平组合A3B3C2。

       通过“空列”估计非重复正交实验结果的方差分析误差。但是，空列不是空的，并且实际上由尚未被调查的交互占据。此错误包括实验错误和交互，称为模型错误。如果相互作用不存在，用模型误差估计实验误差是可行的，如果这些因素之间存在相互作用，模型误差会夸大实验误差，并可能隐藏调查因素的重要性。此时，实验误差应该通过重复实验值来估算。因此，建议进行两次以上的正交实验。正交实验的重复性可以通过完全随机或随机单位组来设计。

       （二）有重复观测值正交实验结果的方差分析  假定例9.7实验重复了两次，且重复采用随机单位组设计，实验结果列于表9-27。试对其进行方差分析。

用n表示实验（处理）号数，r表示实验处理的重复数。a、b、c、ka、kb、kc的意义同上。此例n=9、r=2、a=b=c=3、ka=kb=dc=3。 

表9-27  有重复观测值正交实验结果计算表                                                                                     

实验号	因  素                      增   重 (kg)
	A	B	C	空	单位组I	单位组II	Tt
	(1)	(2)	(3)	(4)
1	1	1	1	1	63.4	67.4	130.8
2	1	2	2	2	68.9	87.2	156.1
3	1	3	3	3	64.9	66.3	131.2
4	2	1	2	3	64.3	86.3	150.6
5	2	2	3	1	70.2	88.5	158.7
6	2	3	1	2	65.8	66.6	132.4
7	3	1	3	2	71.4	89.0	160.4
8	3	2	1	3	69.5	91.2	160.7
9	3	3	2	1	73.7	92.8	166.5
T1	418.1	441.8	423.9	456	612.1	735.3	1347.4(T)
T2	441.7	475.5	473.2	448.9
T3	487.6	430.1	450.3	442.5
	69.68	73.63	70.65	76.00
	73.62	79.25	78.87	74.82
	81.26	71.68	75.05	73.75

     对于重复性和重复性随机单元设计的正交实验，总变差可分为处理，单位组和误差变化三部分，处理间的变化可进一步分为A因子，B因子，C因子和模型。错误变化四个部分。此时，正方形和自由度分为：

    SST=SSt+SSr+SSe2

    dfT=dft+dfr+dfe2

       而                

SSt=SSA+SSB+SSC+SSe1

dft=dfA+dfB+dfC+dfe1

于是              

SST=SSA+SSB+SSC+SSr+SSe1+SSe2      （9-7）

        dfT=dfA+dfB+dfC+dfr+dfe1+dfe2

式中：SSr为单位组间平方和；SSe1为模型误差平方和；SSe2为实验误差平方和；SSt为处理间平方和；dfr、dfe1、dfe2 、dft为相应自由度。

       注意，对于重复采用完全随机设计的正交实验，在平方和与自由度划分式中无SSr、dfr项。

       1.计算各项平方和与自由度

       矫正数          C=T2/rn=1347.42/2×9=100860.3756

总平方和        SST=Σy2-C

=63.42+68.92+…+92.82-100860.3756=1978.5444

单位组间平方和  SSr=ΣT2r/n-C

=(612.12+735.32)/9-100860.3756=843.2355

处理间平方和    SSt=ΣT2t/r-C

=(130.82+156.12+…+166.52)/2-100860.3756=819.6244

A因素平方和    SSA=ΣT2A/ar-C

=(418.12+441.72+487.62)/3×2-100860.3756=416.3344

B因素平方和    SSB=ΣT2B/br-C

=(411.82+475.52+430.12)/3×2-100860.3756=185.2077

C因素平方和    SSC=ΣT2C/cr-C

=(423.92+473.22+450.32)/3×2-100860.3756=202.8811

模型误差平方和  SSe1=SSt-SSA-SSB-SSC

=819.6244-416.3344-185.2077-202.8811=15.2012

实验误差平方和  SSe2=SST-SSr-SSt

=1978.5444-843.2355-819.6244=315.6845

    总自由度        dfT=rn-1=2×9-1=17

    单位组自由度    dfr=r-1=2-1=1

    处理自由度      dft=n-1=9-1=8

    A因素自由度    dfA=a-1=3-1=2

    B因素自由度    dfB=b-1=3-1=2

    C因素自由度    dfC=c-1=3-1=2

    模型误差自由度  dfe1=dft-dfA-dfB-dfC=8-2-2-2-2=2

实验误差自由度  dfe2=dfT-dft=17-1-8=8

    2.列出方差分析表，进行F检验 

表9-28  有重复观测值正交实验结果方差分析表                                                                              

变异来源	SS	df	MS	F	F0.05	F0.01
A	416.3344	2	208.17	6.29*	4.10	7.55
B	185.2077	2	92.60	2.80	4.10	7.55
C	202.8811	2	101.44	3.07	4.10	7.55
单位组	843.2355	1	843.24	25.48**	4.96	10.01
误差(e1)	15.2012	2	7.60
误差(e2)	315.6845	8	39.46
合并误差	330.8857	10	33.09
总    的	1978.5444	17

       首先检验MSe1与MSe2差异的显著性，若经F检验不显著，则可将其平方和与自由度分别合并，计算出合并的误差均方，进行F检验与多重比较，以提高分析的精度；若F检验显著，说明存在交互作用，二者不能合并，此时只能以MSe2进行F检验与多重比较。本例MSe1/ MSe2<1，MSe1与MSe2差异不显著，故将误差平方和与自由度分别合并计算出合并的误差均方MSe，即MSe=( SSe1+ SSe2)/(dfe1+ dfe2)=(15.2012+315.6845)/(2+8)=33.09，并用合并的误差均方MSe进行F检验与多重比较。

       F检验结果表明，矿物质元素配方对架子猪增得有显著影响，另外两个因素作用不显著；二个单位组间差异极显著。

       3.A因素各水平平均数的多重比较

                  表9-29  A因素各水平平均数多重比较表(SSR法)            单位：kg                               

A因素	平均数	-69.68	-73.62
A3	81.26	11.58**	7.64*
A2	73.62	3.94
A1	69.68

       因为，

       由dfe=10和k=2, 3, 查得SSR值并计算出LSR值列于表9-30。

表9-30  SSR值与LSR值表                                 

dfe	k	SSR0.05	SSR0.01	LSR0.05	LSR0.01
10	2	3.15	4.48	7.40	10.53
	3	3.30	4.73	7.76	11.12

多重比较结果表明：A因素A3水平的平均数显著或极显著地高于A2、A1；A2与A1间差异不显著。

此例因模型误差不显著，可以认为因素间不存在显著的交互作用。可由A、B、C因素的最优水平组合成最优水平组合。A因素的最优水平为A3；因为B、C因素水平间差异均不显著，故可任选一水平。如B、C因素选择使增重达较高水平的B2及C2，则得最优水平组合为A3B2C2，即配方III、用量25克、食盐4克。

若模型误差显著，表明因素间交互作用显著，则应进一步实验，以分析因素间的交互作用。

五、因素间有交互作用的正交设计与分析

       在实际研究中，实验因素之间有时会有相互作用。除了因素的主效应和因素之间的相互作用的正交设计之外，表头的设计和结果分析与前面的介绍略有不同。

例9.8 某一种抗菌素的发酵培养基由A、B、C 3种成分组成，各有两个水平，除考察A、B、C三个因素的主效外，还考察A与B、B与C的交互作用。试安排一个正交实验方案并进行结果分析。

（一）选用正交表，作表头设计  由于本实验有3个两水平的因素和两个交互作用需要考察，各项自由度之和为：3×(2-1)+2×(2-1)×(2-1)=5，因此可选用L8(27)来安排实验方案。

       正交表L8(27)中有基本列和交互列之分，基本列就是各因素所占的列，交互列则为两因素交互作用所占的列。可利用L8(27)二列间交互作用列表（见表9-31）来安排各因素和交互作用。

表9-31  L8(27)二列间交互作用列表                                                                                             

列号	1	2	3	4	5	6	7
1	(1)	3	2	5	4	7	6
2		(2)	1	6	7	4	5
3			(3)	7	6	5	4
4				(4)	1	2	3
5					(5)	3	2
6						(6)	1

       如果将A因素放在第1列，B因素放在第2列，查表9-31可知，第1列与第2列的交互作用列是第3列，于是将A与B的交互作用A×B放在第3列。这样第3列不能再安排其它因素，以免出现“混杂”。然后将C放在第4列，查表9-31可知，B×C应放在第6列，余下列为空列，如此可得表头设计，见表9-32。

表9-32  表头设计                               

列号	1	2	3	4	5	6	7
因素	A	B	A×B	C	空	B×C	空

       （二）列出实验方案   根据表头设计，将A、B、C各列对应的数字“1”、“2”换成各因素的具体水平，得出实验方案列于表9-33。

表9-33  正交实验方案                                                                             

试 验 号		因	素
	1(A)	2(B)	3(C)
1	1(A1)	1(B1)	1(C1)
2	1(A1)	1(B1)	2(C2)
3	1(A1)	2(B2)	1(C1)
4	1(A1)	2(B2)	2(C2)
5	2(A2)	1(B1)	1(C1)
6	2(A2)	1(B1)	2(C2)
7	2(A2)	2(B2)	1(C1)
8	2(A2)	2(B2)	2(C2)

（三）结果分析  按表9-33所列的实验方案进行实验，其结果见表9-34。

表中Ti、计算方法同前。此例为单独观测值正交实验，总变异划分为A因素、B因素、C因素、A×B、B×C、与误差变异5部分，平方和与自由度划分式为：

             （9-8）                

       1.计算各项平方和与自由度

       矫正数           C=T2/n=6652/8=55278.1250

总平方和         SST=Σy2-C

=552+382+…+612-55278.1250=6742.8750

A因素平方和     SSA=ΣT2A/a-C

=(2792+3862)/4-55278.1250=1431.1250

       B因素平方和     SSB=ΣT2B/b-C=(3392+3262)/4-55278.1250=21.1250

C因素平方和     SSC=ΣT2C/c-C

=(3532+3122)/4-55278.1250=210.1250

A×B平方和      SSA×B =ΣT2A×B/4-C

=(2332+4322)/4-55278.1250=4950.1250

B×C平方和      SSB×C=ΣT2B×C /4-C

=(3272+3382)/4-55278.1250=15.1250

误差平方和      SSe=SST-SSA-SSB-SSA×B-SSB×C

=6742.8750-1431.1250-21.1250-210.1250-4950.1250-15.1250=115.2500

    总自由度        dfT=n-1=8-1=7

    各因素自由度     dfA=dfB=dfC=2-1=1

    交互作用自由度   dfA×B=dfB×C=(2-1)(2-1)=1

    误差自由度      dfe=dfT-dfA-dfC-dfA×B-dfB×C=7-1-1-1-1-1=2

表9-34 有交互作用的正交实验结果计算表                                                                                    

实验号	因         素					实验结果(%)*
	A	B	A×B	C	B×C
1	1	1	1	1	1	55(y1)
2	1	1	1	2	2	38(y2)
3	1	2	2	1	2	97(y3)
4	1	2	2	2	1	89(y4)
5	2	1	2	1	1	122(y5)
6	2	1	2	2	2	124(y6)
7	2	2	1	1	2	79(y7)
8	2	2	1	2	1	61(y8)
T1	279	339	233	353	327	665(T)
T2	386	326	432	312	338
	69.75	84.75	58.25	88.25	81.75
	96.50	81.50	108.00	78.00	84.50

       *实验结果以对照为100计

       2.列出方差分析表，进行F检验

表9-35  方差分析表                                                                                                               

变异来源	SS	df	MS	F	F0.05(1, 2)	F0.01(1, 2)
A	1431.1250	1	1431.1250	24.84*	18.51	98.49
B	21.1250	1	21.1250	<1
C	210.1250	1	210.1250	3.65
A×B	4950.1250	1	4950.1250	85.90*
B×C	15.1250	1	12.1250	<1
误差	115.1250	2	57.6250
总的	6742.8750	7

       F检验结果表明：A因素和交互作用A×B显著，B、C因素及B×C交互作用不显著。因交互作用A×B显著，应对A与B的水平组合进行多重比较，以选出A与B的最优水平组合。

3.A与B各水平组合的多重比较

先计算出A与B各水平组合的平均数：

    A1B1水平组合的平均数=(55+38)/2=46.50

    A1B2水平组合的平均数=(97+89)/2=93.00

    A2B1水平组合的平均数=(122+124)/2=123.00

    A2B2水平组合的平均数=(79+61)/2=70.00

列出A、B因素各水平组合平均数多重比较表，见表9-36。 

    表9-36  A、B因素各水平组合平均数多重比较表(q法)                                                 

水平组合	平均数	-46.5	-70	-93
A2B1	123.00	76.5*	53*	30
A1B2	93.00	46.5*	23
A2B2	70.00	23.5
A1B1	46.50

因为，，由dfe=2与k=2, 3, 4, 查临界q值，并计算出LSR值，见表9-37。

表9-37  q值与LSR值表                                               

dfe	k	q0.05	q0.01	LSR0.05	LSR0.01
	2	6.09	14.0	32.70	75.18
2	3	8.28	19.0	44.46	102.03
	4	9.80	22.3	52.63	119.75

多重比较结果表明，A2B1显著优于A2B2，A1B1；A1B2显著优于A1B1，其余差异不显著。最优水平组合为A2B1。

       从以上分析可知，A因素取A2，B因素取B1，若C因素取C1，则本次实验结果的最优水平组合为A2B1C1。

注意，此例因dfe=2，F检验与多重比较的灵敏度低。为了提高检验的灵敏度，可将F<1的SSB、dfB，SSB×C、dfB×C合并到SSe、dfe中，得合并的误差均方，再用合并误差均方进行F检验与多重比较。