第五节 拉丁方设计
“拉丁方”这个名字最初由R.A.Fisher提供。拉丁方设计（latinsquare design）是从水平和垂直两个方向进行的双重局部控制，使水平和垂直两列成为一个单位组，这是一个随机单位组的多个单位组设计。在拉丁方设计中，每行或每列变成一个完整的单位组，并且每个处理每行或每列只发生一次，即在拉丁设计中，实验处理的数量=垂直组中的单位数= 直列单位的数量=实验处理的重复次数。在对拉丁方设计实验结果的统计分析中，拉丁方设计的实验误差小于随机单位组的实验误差，并且实验精度高于随机单位组，因为它可以将来自水平和直排两个单位组的实验误差的变化。
一、拉丁方简介
1.拉丁方 以n个拉丁字母A，B，C……，为元素，作一个n阶方阵，若这n个拉丁方字母在这n阶方阵的每一行、每一列都出现、且只出现一次，则称该n阶方阵为n×n阶拉丁方。
例如：
A B |
B A | |
B A |
A B |
为2×2阶拉丁方，2×2阶拉丁方只有这两个。
A B C
B C A
C A B
为3×3阶拉丁方。
第一行的拉丁方和自然顺序的第一列拉丁字母称为标准拉丁方。3x3标准拉丁方仅有1个以上，4x4标准拉丁方有4种，5x5标准拉丁方有56种。如果您转换标准类型的行或列，则可以获得更多类型的拉丁方格。在拉丁方设计的过程中，我们可以随机选择一个拉丁方格，或者选择一个标准类型，然后随机使用它来改变列的顺序。
2.常用拉丁方 在动物实验中，最常用的有3×3，4×4，5×5，6×6阶拉丁方。下面列出部分标准型拉丁方，供进行拉丁方设计时选用。其余拉丁方可查阅数理统计表及有关参考书。
3×3 |
4 × 4 | |||||||||||||||||||||
（1） |
（2） |
（3） |
（4） | |||||||||||||||||||
A B C |
B C A |
C A B |
A B C D |
B A D C |
C D B A |
D C A B |
A B C D |
B C D A |
C D A B |
D A B C |
A B C D |
B D A C |
C A D B |
DC B A |
A B C D |
B A D C |
C D AB |
D C BA | ||||
5 × 5
（1） |
（2） |
（3） |
（4） | |||||||||||||||||||
A B C D E |
B A D E C |
C E A B D |
D C E A B |
E D B C A |
A B C D E |
B A E C D |
C D B E A |
D E A B C |
E C D A B |
A B C D E |
B A E C D |
C E D B A |
D C A E B |
E D B A C |
A B C D E |
B A D E C |
C D E B A |
D E A C B |
E C B A D | |||
6 × 6
A B C D E F |
B F D A C E |
C D E F A B |
D C F E B A |
E A B C F D |
F E A B D C |
二、拉丁方设计方法
在牲畜和水产品等动物实验中，如果我们想从两个方面来控制系统误差，并且实验动物的数量很少，那么经常使用拉丁方设计。下面是一个具体的例子来说明拉丁方设计方法。
例9.4为了研究5种不同温度对蛋鸡的影响，将5个鸡舍的温度设定为A，B，C，D，E，将鸡的产蛋期限分为5个鸡，而且不同鸡蛋的产蛋量对生产影响较大，所以采用拉丁方设计，以鸡和鸡蛋生产期为单位设置，以控制这两方面的制度误区。拉丁方的设计步骤如下：
（一）选择拉丁方应根据加工次数和行数和行数选择拉丁方，然后选择标准拉丁方的拉丁方或非标准拉丁方。这种情况是由于实验处理因素的温度，处理数量是5；直单位组数为5个，产蛋期与单位组相同，组数为5个，即实验处理数，直单位数，行中的单位是5，那么应该选择5x5的拉丁方。本例选取前面列出的第2个5× 5标准型拉丁方，即：
A B C D E
B A D E C
C E B A D
D C E B A
E D A C B
（二）随机排列 拉丁方被选中后，如果是非标准类型，则可以直接根据拉丁方的信函来安排实验程序。在标准的拉丁方中，水平，直线和实验处理的顺序应按照以下要求随机排列。
3x3标准拉丁方：随机排列的直排，然后随机排列的第二和第三个水平。
4x4标准拉丁方：随机选择4个标准拉丁方格之一，然后随机排列行和列过程。
以下是所选5x5标准拉丁方格的随机排列。先从随机数字表（Ⅰ）第22行，第8列第97行右连续转录3个5位数字，转录为“0”，“大于6”并重复数字，3位数字的转录为： 13542，41523，34521。上面选择的拉丁方格的5x5，行和处理然后随机重排3个五位数的顺序。
1.直排拉丁方在13542顺序排列的直列顺序排列。
2.在41523的顺序重排中，随机再次连续进行横向的拉丁方。
选择拉丁方 |
直列随机 |
横行随机 | ||||||||||||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
3 |
5 |
4 |
2 | |||||||||||
A B C D E |
B A E C D |
C D B E A |
D E A B C |
E C D A B |
1 2 3 4 5 |
A B C D E |
C D B E A |
E C D A B |
D E A B C |
B A E C D |
4 1 5 2 3 |
D A E B C |
E C A D B |
A E B C D |
B D C E A |
C B D A E | ||||
3.把5种不同温度按第三个5位数34521顺序排列 即：A=3，B=4，C=5，D=2，E=1，也就是说，在拉丁方中的A表示第3种温度，B表示第4种温度等，依次类推。从而得出5×5拉丁方设计，如表9-8所示。
表9-8 5种不同温度对鸡产蛋量影响的拉丁方设计
产蛋期 |
鸡 群 | ||||
一 |
二 |
三 |
四 |
五 | |
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ |
D（2） A（3） E（1） B（4） C（5） |
E（1） C（5） A（3） D（2） B（4） |
A（3） E（1） B（4） C（5） D（2） |
B（4） D（2） C（5） E（1） A（3） |
C（5） B（4） D（2） A（3） E（1） |
注：括号内的数字表示温度的编号
由表9-8可以看出，第一鸡群在第Ⅰ个产蛋期用第2种温度，第二鸡群在第Ⅰ个产蛋期用第1种温度，等等。实验应严格按设计实施。
三、实验结果的统计分析
拉丁方设计实验结果的分析，是将两个单位组因素与实验因素一起，按三因素实验单独观测值的方差分析法进行，但应假定3个因素之间不存在交互作用。将横行单位组因素记为A，直列单位组因素记为B，处理因素记为C，横行单位组数、直列单位组数与处理数记为r，对拉丁方实验结果进行方差分析的数学模型为：
（i=j=k=1，2，…，r） （9-3）
式中：μ为总平均数；
为第i横行单位组效应；
为第j直列单位组效应， 
为第k处理效应。单位组效应、通常是随机的，处理效应
通常是固定的，且有
；
为随机误差，相互独立，且都服从N（0，σ2）。
注意：k不是独立的下标，因为i、j一经确定，k亦随之确定。
平方和与自由度划分式为：
（9-4）
例9.4 的实验结果如表9-9所示。
表9-9 5种不同温度对母鸡产蛋量影响实验结果 （单位：个）
产蛋期 |
鸡 群 |
横行和xi. | ||||
一 |
二 |
三 |
四 |
五 | ||
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ |
D（23） A（22） E（20） B（25） C（19） |
E（21） C（20） A（25） D（22） B（20） |
A（24） E（20） B（26） C（25） D（24） |
B（21） D（21） C（22） E（21） A（22） |
C（19） B（22） D（23） A（23） E（19） |
108 105 116 116 104 |
直列和x.j |
109 |
108 |
119 |
107 |
106 |
x..=549 |
注：括号内数字为产蛋量
表9-10 各种温度（处理）的合计
温度 |
A |
B |
C |
D |
E |
x（k）
|
116 23.2 |
114 22.8 |
105 21.0 |
113 22.6 |
101 20.2 |
现对表9-9资料进行方差分析。
1.计算各项平方和与自由度
矫正数 C=x2../r2=5492/52=12056.04
总平方和 SST=Σx 2ij(k)-C=232+212+……+192-12056.04
=12157-12056.04=100.96
横行平方和 SSA =Σx 2i./r-C
=(1082+1052+……+1042)/5-12056.04=27.36
直列平方和 SSB =Σx 2.j/ r -C
=(1092+1082+……+1062)/5-12056.04=22.16
处理平方和 SSC=Σx 2(K)/ r -C
=(1162+1142+……+1012)/5-12056.04=33.36
误差平方和 SSe= SS T- SS A- SS B- SSc
=100.96-33.36-27.36-22.16=18.08
总自由度 dfT= r 2-1=52-1=24
横行自由度 dfA= r-1=5-1=4
直列自由度 dfB= r-1=5-1=4
处理自由度 dfC= r-1=5-1=4
误差自由度 dfe=dfT-dfA-dfB-dfC=(r-1)( r-2)=(5-1)(5-2)=12
2.列出方差分析表，进行F检验
表9-11 表9-9资料的方差分析表
变异来源 |
SS |
df |
MS |
F |
F0.05 |
F0.01 |
横行间 直列间 温度间 误 差 |
27.36 22.16 33.36 18.08 |
4 4 4 12 |
6.84 5.54 8.34 1.50 |
4.56* 3.69* 5.56** |
3.26 3.26 3.26 |
5.41 5.41 5.41 |
总变异 |
100.96 |
24 |
经F检验，产蛋期间和鸡群间差异显著，温度间差异极显著。因在拉丁方设计中，横行、直列单位组因素是为了控制和降低实验误差而设置的非实验因素，所以即使显著一般也不对单位组间进行多重比较。下面对不同温度平均产蛋量间作进行多重比较。
3.多重比较
列出多重比较表，见表9-12。
表9-12 不同温度平均产蛋量多重比较表（q法）
温度 |
平均数 |
|
|
|
|
A B D C E |
23.2 22.8 22.6 21.0 20.2 |
3.0* 2.6* 2.4* 0.8 |
2.2 1.8 1.6 |
0.6 0.2 |
0.4 |
温度平均数标准误为：
由dfe=12和k=2，3，4，5从q值表查得临界q值：q0.05和q0.01，并与
相乘得
值，列于表9-13。
表9-13 q值和LSR值表
dfe |
k |
q0.05 |
q0.01 |
LSR0.05 |
LSR 0.01 |
12 |
2 3 4 5 |
3.08 3.77 4.20 4.51 |
4.32 5.04 5.50 5.84 |
1.69 2.07 2.31 2.48 |
2.38 2.77 3.03 3.21 |
多重比较结果表明：温度A、B、D平均产蛋量显著地高于E，即第3、4、2种温度的平均产蛋量显著高于第1种温度的平均产蛋量，其余之间差异不显著。第1种和第5种温度平均产蛋量最低。
四、拉丁方设计的优缺点
（一）拉丁方设计的主要优点
1.精确性高 拉丁方设计在不增加实验单位的情况下，比随机单位组设计多设置了一个单位组因素，能将横行和直列两个单位组间的变异从实验误差中分离出来，因而实验误差比随机单位组设计小，实验的精确性比随机单位组设计高。
2.实验结果的分析简便
（二）拉丁方设计的主要缺点 因为在拉丁设计中，水平单位组编号，直行单位组编号，实验处理编号和实验处理复制编号必须相等，因此处理编号有一定限制。如果处理次数较少，则重复次数少，实验误差的自由度较小，影响实验的灵敏度；如果处理次数多，重复次数太多，并且有许多组的直接和垂直单位，这导致大量的实验工作，并且初始条件因此，拉丁方设计是一般用于5-8个加工实验。为了使估计误差的自由度不小于12，我们可以使用“复数拉丁方平面设计”，即相同的拉丁平方实验重复多次，并将实验数据合并分析以增加错误项目的自由度。
应该注意的是，在拉丁实验中，一些单位组因素，如奶牛泌乳阶段，每个实验因素的处理都应该在不同的阶段实施，如果前一阶段有残留效应，在实验后期阶段，将会产生系统误差并影响实验的准确性。此时应根据实际情况安排合适的实验间隔以消除残留影响。另外，应该注意的是，横向和纵向单位组因素与实验因素之间没有交互作用，否则拉丁方设计不能使用。
