第二节  直线相关 

一、相关系数和决定系数

（一）相关系数

对于坐标点呈直线趋势的两个变数，如果并不需要由X来估计Y，而仅需了解X和Y是否确有相关以及相关的性质(正相关或负相关)，则首先应算出表示X和Y相关密切程度及其性质的统计数-相关系数。一般以表示总体相关系数，以r表示样本相关系数。

设有一X、Y均为随机变量的双变数总体，具有N对(X，Y）。若在标有这N个(X，Y)坐标点的直角坐标平面上移动坐标轴，将X轴和Y轴分别平移到和上，则各个点的位置不变，而所取坐标变为(，)。并且，在象限Ⅰ，()＞0，()＞0；在象限Ⅱ，()＜0，()＞0；在象限Ⅲ，（）＜0，（）＜0；在象限Ⅳ，()＞0，()＜0。因而，凡落在象限Ⅰ、Ⅲ的点，()()皆为正值；凡落在象限Ⅱ、Ⅳ的点，()()皆为负值。当(X，Y)总体呈正相关时，落在象限Ⅰ、Ⅲ的点一定比落在象限Ⅱ、Ⅳ的多，故一定为正；同时落在象限Ⅰ、Ⅲ的点所占的比率愈大，此正值也愈大。当(X，Y)总体呈负相关时，则落在象限Ⅱ、Ⅳ的点一定比落在象限Ⅰ、Ⅲ的为多，故一定为负；且落在象限Ⅱ、Ⅳ的点所占的比率愈大，此负值的绝对值也愈大。如果(X，Y)总体没有相关，则落在象限Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的点是均匀分散的，因而正负相消，=0。

以上说明，的值可用来度量两个变数直线相关的相关程度和性质。但是，X和Y的变异程度、所取单位及N的大小都会影响，为便于普遍应用，应消去这些因素的影响。消去的方法就是将离均差转换成以各自的标准差为单位，使成为标准化离差，再以N除之。因而，可定义双变数总体的相关系数为：

                                  （8-1）

    （8-1）的已与两个变数的变异程度、单位和N大小都没有关系，是一个不带单位的纯数，因而可用来比较不同双变数总体的相关程度和性质。（8-1）也说明，相关系数是两个变数标准化离差的乘积之和的平均数。

当计算样本的相关系数r时，、和便分别以、和取代，因而

                         （8-2）

上述结果是直观地建立起来的。实际上，由回归分析亦可方便地得出同样结果。前已述及，y的平方和在回归分析时分成了两个部分：一部分是离回归平方和Q，另一部分是回归平方和U=(SP)2/SSx，后者是由X的不同而引起的。显然，若坐标点愈靠近回归线，则U对SSy的比率愈大，直线相关就愈密切。因此，又可有定义：

上式说明，当散点图上的点完全落在回归直线上时，Q=0，U=SSy，故；当y的变异和x完全无关时，U=0，Q=SSy，故。所以r的取值区间是[-1，1]。双变数的相关程度决定于|r|，|r|越接近于1，相关越密切；越接近于0，越可能无相关。另一方面，r的显著与否还和自由度有关，越大，受抽样误差的影响越小，r达到显著水平的值就较小。r的正或负则表示相关的性质：正的r值表示正相关，即y随x的增大而增大；负的r值表示负相关，即y随x的增大而减少。由于r和b算式中的分母部分总取正值，而分子部分都是SP，所以相关系数的正或负，必然和回归系数一致。

相关系数的性质

（1）相关系数的取值范围在-1和+1之间，即：–1≤r≤ 1。

（2）计算结果，若r为正，则表明两变量为正相关；若r为负，则表明两变量为负相关。

（3）相关系数r的数值越接近于1（–1或+1），表示相关系数越强；越接近于0，表示相关系数越弱。如果r=1或–1，则表示两个现象完全直线性相关。如果r=0，则表示两个现象完全不相关（不是直线相关）。

（4）判断两变量线性相关密切程度的具体标准为：，称为微弱相关；，称为低度相关；，称为显著相关；称为高度相关。

（二）决定系数 

决定系数（determinationcoefficient）定义为由x不同而引起的y的平方和占y总平方和SSy=的比率；也可定义为由y不同而引起的x的平方和占x总平方和SSx=的比率，其值为：

                                         （8-3）

所以决定系数即相关系数r的平方值。

决定系数和相关系数的区别在于：① 除掉|r|=1和0的情况外，r2总是小于|r|。这就可以防止对相关系数所表示的相关程度作夸张的解释。例如，r=0.5，只是说明由x的不同而引起的y变异(或由y的不同而引起的x变异)平方和仅占y总变异(或x总变异)平方和的r2=0.25，即25%，而不是50%。② r是可正可负的，而r2则一律取正值，其取值区间为[0，1]。因此，在相关分析中将两者结合起来是可取的，即由r的正或负表示相关的性质，由r2的大小表示相关的程度。

（三）相关图

相关图又称散点图。它是以直角坐标系的横轴代表标量X，纵轴代表标量Y，将两个变量间相对应的变量值用坐标点的形式描绘出来，用来反映两变量之间相关关系的图形。

二、相关系数的假设检验

目的：相关系数检验的目的是判断两变量的总体是否有相关关系。检验样本相关系数r是否总体相关系数为0的总体，如概率p＜0.05，认为两变量存在相关关系。

方法：有t检验、查表法和F检验。

（1）t检验法：统计量计算为

                    （8-4）

（2）查表法：是直接查相关系数界值表得到相应的概率p。统计量r绝对值越大，p越小。

（3）F检验的计算公式为

F=，=1，=n-2            （8-5）

统计学家已根据相关系数r显著性t检验法计算出了临界r值并列出了表格。所以可以直接采用查表法对相关系数r进行显著性检验。具体作法是：先根据自由度n-2查临界r值(附表8)，得，。若|r|＜，P＞0.05，则相关系数r不显著，在r的右上方标记“ns”；若≤|r|＜，0.01＜P≤0.05，则相关系数r显著，在r的右上方标记“*”；若|r|≥，P≤0.01，则相关系数r极显著，在r的右上方标记“**”。

例8.1 计算10只绵羊的胸围（cm）和体重(kg)（表8-1）的相关系数。 

表8-1  10只绵羊胸围和体重资料                                                                 

编号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
胸围(x)	68	70	70	71	71	71	73	74	76	76
体重(y)	50	60	68	65	69	72	71	73	75	77

 根据表8-1所列数据先计算出：

代入（8-2）式得：

即绵羊胸围与体重的相关系数为0.8475。

对于例8.1，因为df=n-2=10-2=8，查附表8得：=0.632，=0.765，而r=0.8475＞，P＜0.01，表明绵羊胸围与体重的相关系数极显著。