第三节  协方差分析的计算过程 

本节中我们给出较详细的协方差分析计算过程，包括全部应进行的条件检验。

（1）对各处理水平，分别计算协变量与因变量的回归方程，并求出各处理内的剩余平方和，令，称为组内剩余平方和，其自由度。

（2）令，并利用它们检验方差齐性。可选取差异最大的两个的比值作Fmax统计检验，若无显著差异，则可认为具有方差齐性。

（3）把各处理水平的平方和及交叉乘积和合并得到Eyy，Exx，Exy；并求得公共回归系数，及，称为误差平方和，它的自由度为。

（4）检验各处理水平的回归线是否平行：。由于组内剩余平方和完全是由随机误差引起，而用共同的b*计算出的SSe则包含了随机误差及各水平回归系数bi的差异的影响，而且可证明它是可以分解的，所以有：

其自由度，令

然后用

作检验。若差异不显著，则可认为各相等。

（5）检验回归是否显著：利用（2）的结果，。SSe = Eyy − SSR，。令，可用

对上述H0作检验。若差异显著则作协方差分析，若差异不显著则直接作单因素方差分析。

（6）协方差分析：

计算：

          

          

          

令      

，

利用上述统计量F对作上单尾检验。若差异显著，则认为各处理水平间效果有显著差异。

（7）计算调整平均数，即的估计值。

其标准差为：

必要时可用它对上述估计值间差异是否显著作检验。

协方差分析的原理及步骤（设）

（1）检验条件：先作三条回归线，求出各组的误差估计并检验是否相等（方差齐性），通过检验后合并各求出为误差估计。

再假设三线平行（有共同的b*），在此假设下求出SSe，用对检验上述假设。通过检验后用MSe代替。

再检验b*是否为0。令；通过检验则直接作方差分析，否则做协方差分析。

（2）协方差分析：检验各水平效应是否均为0：。在此假设下，可把三组数据合并，作一个回归方程，它的剩余平方和包含了的影响。令，检验影响是否明显比随机误差大。

（3）对平均数进行调整，即对作出估计，必要时进行多重比较。

例7.1  比较三种猪饲料A1，A2，A3的效果。X为初始重量，Y为增重量，数据见下表。                            

A1	X	15   13    11   12   12    16   14   17
	Y	85   83    65   76   80    91   84   90
A2	X	17   16    18   18   21    22   19   18
	Y	97   90    100  95  103   106   99   94
A3	X	22   24    20   23   25    27   30   32
	Y	89   91    83   95  100   102  105  110

解：首先进行条件的检验。

（1）对每一种饲料分别作回归分析，得：

          Syy1 =487.5,  Sxy1 = 110.5,  Sxx1 = 31.5,

          a1= 33.516,  b1 = 3.506,  

          Syy2= 184,   Sxy2 = 65,   Sxx2 = 27.875,

          a2= 54.570,  b2 = 2.332, 

          Syy3= 566.875,   Sxy3 = 245.375,   Sxx3 = 115.875,

          a3= 43.131,  b3 = 2.118, 

组内剩余平方和：

          

（2）检验方差齐性：由于各水平重复数均为8，误差自由度均为6。可选差异最大的和作检验：

Fmax = 99.873 /32.431 = 3.080

由于共有3组，因此a=3；各组自由度均为6，因此v=6。查Fmax,临界值表。得：

Fmax, 0.05（3, 6）= 8.38 > Fmax,

可认为具有方差齐性。

（3）合并各水平的平方和及交叉乘积和：

        Eyy= 1238.375,  Exy = 420.875,  Exx = 175.25

        b*= Exy / Exx = 2.402,  SSe= Eyy −= 227.615

（4）检验回归线是否平行: H0 : b1 = b2 =b3 = b*

        SSb = SSe −= 48.038

       

查表，F0.95(2, 18)= 3.55 > F, 所以接受，可认为三回归线平行，即有公共回归系数b*。

（5）检验回归是否显著：H0 :β= 0

        

查表，F0.99(1, 20) =8.096 < F，所以差异极显著，X与Y有极显著线性关系，应作协方差分析。

（6）把所有数据放在一起，算得：

        Syy= 2555.958,  Sxy = 1080.75,  Sxx = 720.5

（7）协方差分析：

       

查表，F0.99(2, 20) =5.849 < F，所以拒绝H0，各不同饲料增重效果差异极显著。

（8）为比较各饲料好坏，计算调整平均数：

        。

代入数据，得：

        

从调整后的数据来看，第二种饲料效应最好，第一种饲料效应稍差，第三种饲料效应更多。但从调整前的数据来看第二好的，第三好的数据与第二好的差不多，第一个差异很大。此调整之前的差异不正确，因为它包含初始重量效果。第三组初始体重明显较大，第一组较小，影响了两种饲料的正确评价。

如果希望对各调整后的平均数据作统计比较，可用公式计算它们的样本方差：（分别记为）。

        

自由度均为20。

先比较和：

查表，得：t0.979(20) = 2.086，t0.995(20) = 2.845

所以差异已接近显著水平，但仍未达到。故应认为第二种饲料近似地与第一种相同。

再比较和：

所以差异极显著。第三种饲料极明显地差于第一种。由于第二种平均值大于第一种，方差小于第一种，故第二种与第三种的差异更大。即第三种极明显地差于其他两种。

注意由于MSe是用全部数据算出的公共的误差估计，其自由度为20，因此的子样方差为

，

自由度仍应为20，而不是40。

例7.2 为了寻找一种较好的哺乳仔猪食欲增进剂，以增进食欲，提高断奶重，对哺乳仔猪做了以下实验：实验设对照、配方1、配方2、配方3共四个处理，重复12次，选择初始条件尽量相近的长白种母猪的哺乳仔猪48头，完全随机分为4组进行实验，结果见表7-1，试作分析。

此例， =18.25+15.40+15.65+13.85=63.15

         =141.80+130.10+144.80+133.80=550.50

          k=4，n=12，kn=4×12=48                   

表7-1  不同食欲增进剂仔猪生长情况表    （单位：kg）                                                                         

处  理	对照		配方1		配方2		配方3
观   测   指   标	初生重   x	50日   龄重y	初生重   x	50日   龄重y	初生重   x	50日   龄重y	初生重x	50日   龄重y
观察值   xij,yij	1.50    12.40		1.35     10.20		1.15    10.00		1.20  12.40
	1.85    12.00		1.20      9.40		1.10    10.60		1.00   9.80
	1.35    10.80		1.45     12.20		1.10    10.40		1.15  11.60
	1.45    10.00		1.20     10.30		1.05     9.20		1.10  10.60
	1.40    11.00		1.40     11.30		1.40    13.00		1.00   9.20
	1.45    11.80		1.30     11.40		1.45    13.50		1.45  13.90
	1.50    12.50		1.15     12.80		1.30    13.00		1.35  12.80
	1.55    13.40		1.30     10.90		1.70    14.80		1.15   9.30
	1.40    11.20		1.35     11.60		1.40    12.30		1.10   9.60
	1.50    11.60		1.15      8.50		1.45    13.20		1.20  12.40
	1.60    12.60		1.35     12.20		1.25    12.00		1.05  11.20
	1.70    12.50		1.20      9.30		1.30    12.80		1.10  11.00
总和  xi.,yi.	18.25   141.80		15.40    130.80		15.65  144.80		13.85 133.80
平均	1.52    11.82		1.28     10.84		1.30    12.07		1.15  1.15

协方差分析的计算步骤如下：

(一)求x变量的各项平方和与自由度

1.总平方和及自由度

=kn-1=4×12-1=47

2.处理间平方和与自由度

    =k-1=4-1=3

3.处理内平方和与自由度

     =-=1.75-0.83=0.92

     =-=47-3=44

（二）求y变量各项平方和与自由度

1.总平方和与自由度

=kn-1=4×12-1=47

        2.处理间平方和与自由度

=k-1=4-1=3

        3.处理内平方和与自由度

         =-=96.76-11.68=85.08

         =-=47-3=44

 （三）求x和y两变量的各项离均差乘积和与自由度

 1.总乘积和与自由度

        

    

    =kn-1=4×12-1=47

    2.处理间乘积和与自由度

         

         

          =1.64

       =k-1=4-1=3

    3.处理内乘积和与自由度

       =-=8.25-1.64=6.61

       =-=47-3=44

    平方和、乘积和与自由度的计算结果列于表7-2。                   

表7-2  x与y的平方和与乘积和表                                       

变异来源	df
处理间(t)	3	0.83	11.68	1.64
处理内(误差)(e)	44	0.92	85.08	6.61
总变异(T)	47	1.75	96.76	8.25

（四）对x和y各作方差分析（表7-3）                 

表7-3  初生重与50日龄重的方差分析表                                                                       

变异来源	df	x变量			y变量			F值
		SS	MS	F	SS	MS	F
处理间	3	0.83	0.28	13.33**	11.68	3.89	2.02	F0.05=2.82   F0.01=4.26
处理内(误差)	44	0.92	0.021		85.08	1.93
总变异	47	1.75			96.76

 结果表明，4种仔猪平均出生体重存在显著差异，平均体重50天不显著。应该进行协方差分析以消除不同初级体重对测试结果的影响，减少测试误差并揭示可能隐藏的处理之间的显著差异。