第三章 随机变量与概率分布

学习要求：  本章主要讲述随机变量，离散型随机变量及其分布律，连续型随机变量及其概率密度，分布函数，二维随机变量，边缘分布,条件分布，随机变量函数的分布及其应用等内容。

为了研究随机现象并理解随机现象的统计规律，我们需要引入随机变量的概念及其分布。随机变量和概率分布是概率论的主要内容，是统计学的重要基础。随机变量的引入使得概率论向前迈进了一大步。随机变量可以量化随机实验产生的样本空间和随机事件，使概率论的数学工具更加丰富和强大。概率论的发展进入了一个新时期。在本章中，我们将讨论一维随机变量和多维随机变量及其分布，并讨论几种常用的分布。

第一节        随机变量 

随机变量（random variable）表示各种结果变量（所有可能的采样点）的随机现象（在某些情况下，并不总是出现相同的结果称为随机现象）。它的值是不可预测的，因为它受很多随机因素的影响，但这并不是说随机变量毫无规律，它的规律性就是其值的概率，也就是说，它的值服从某种特定的概率分布，所以我们也可以说随机变量是变量值的一定概率分布。随机变量的所有可能值构成一个总体。随机变量可以分为两类：连续随机变量（continuous random variable）和离散随机变量（discrete randomvariable）。连续的随机变量是一个随机变量，可取一定的范围内的任意值，而一个离散的随机变量是有限数量的可能值的一个随机变量。

例3.1 将一枚硬币抛三次，用X表示出现正面的次数。       

样本点	HHH    HHT   HTH   THH    HTT   THT   TTH   TTT
X的值	3      2      2      2      1      1      1      0

例3.2 一射手连续射击4次，观察他是否击中目标的情况。用“1”表示击中，“0”表示未击中，X表示击中的次数。

S = {(x1，x2，x3，x4)| xi= 0，1；i = 1，2，3，4}

X = X(e)= x1 + x2 + x3 + x4

函数X = X(e)称为随机变量，它的定义域为S，值域为RX = {x1，x2，x3，x4}。

例3.3 对100头病畜用某种药物进行治疗，其可能结果是“0头治愈”、“1头治愈”、“2头治愈”、“…”、“100头治愈”。若用x表示治愈头数，则x的取值为0、1、2、…、100。

 例3.4 孵化一枚种蛋可能结果只有两种，即“孵出小鸡”与“未孵出小鸡”。若用变量x表示实验的两种结果，则可令x=0表示“未孵出小鸡”，x=1表示“孵出小鸡”。

例3.5 测定某品种猪初生重，表示测定结果的变量x所取的值为一个特定范围(a,b)，如0.5-1.5kg，x值可以是这个范围内的任何实数。

事实上，随机变量是随测试结果而变化的量。所以可以说随机变量是随机测试结果的函数。

随机变量和普通实函数这两个概念是相互联系和有区别，它们都是从一个集合到另一个集合的映射，其主要区别在于：不做实验的普通实函数可以基于自变量的值确定函数的值，而在做实验之前随机变量的值是不确定的，只有在实验之后，才出现的结果。  

今后，在不必强调e时，常省去e，简记X = X(e)为X。常用大写字母X，Y，Z等表示随机变量，用小写字母x，y，z等表示随机变量的值。

随机变量有以下特征：

（1）随机变量的取值有一定的概率。

    如例3.1中，

（2）用随机变量可以方便地表示任何事件和事件的概率。

    如例3.1中{X = 2}表示事件A = {HHT，THH，HTH}，

    {X≥3}表示事件B = {HHH}，

例3.2中{X≤1}表示事件

    C = {X≤1} = {(0,0,0,0)，(1,0,0,0)，(0,1,0,0)，(0,0,1,0)，(0,0,0,1)}

    P{X≤1} = (1 – p)4+ 4(1 – p)3（p为射手的射中率）

引入随机变量后，我们可以用数字来描述随机现象，这样我们就可以用数学分析的结果进行更广泛的实验研究。