3.2 离散傅里叶变换及其性质

3.2.1离散傅里叶变换(DFT)

有限长序列的傅里叶变换称为离散傅里叶变换，简写为DFT。

DFT可以按3个步骤由DFS推导出来：

①将有限长序列延拓成周期序列；

②求周期序列的DFS；

③从DFS中取出一个周期便得到有限长序列的DFT。

将x(n)延拓成周期为N的周期序列

如上图所示。

显然有

的第一个周期，即n＝0到N-1的序列称为主值序列，n=0到

N-1的范围称为主值区间。

上述两式可分别表示为

其中RN(n)是矩形序列。符号((n))N表示n对模N的余数，即

这里k是商。

同理，可以认为周期序列的DFS系数是有限长序列X(k)周期延拓的结果，而X(k)是的主值序列。即

由此便可以得出有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)的表示式为

由此可见，有限长序列x(n)的DFT即X(k)仍是有限长序列。

在一般情况下，X(k)是一个复量，可表示为

或

式中

例3. 1求有限长序列

的DFT，其中a=0.8，N=8。

解：

因此得

X(0)=4.16114X(1)=0.71063-j0.92558 

X(2)=0.50746-j0.40597 X(3)=0.47017-j0.16987 

X(4)=0.46235X(5)=0.47017+j0.16987X(6)=0.50746+j0.40597X(7)=0.71063+j0.92558

将x(n)的Z变换

与x(n)的DFT

进行对比，可以看出

式中，

表示z平面单位圆上辐角

(k=0,1,…N-1)的N个等间隔点。

Z变换在这些点上的取样值就是X(k)。在图3.4(b)中的虚线包络是单位圆(z=ejω)上的Z变换，即傅里叶变化X(ejω)。

关于离散傅里叶变换(DFT)：

.

序列x(n)在时域是有限长的(长度为N)，它的离散傅里叶变换X(k)也是离散、有限长的(长度也为N)。

.

n为时域变量，k为频域变量。

.

离散傅里叶变换与离散傅里叶级数没有本质区别，DFT实际上是离散傅里叶级数的主值，DFT也隐含有周期性。

.

离散傅里叶变换(DFT)具有唯一性。

.

DFT的物理意义：序列x(n)的Z变换在单位圆上的等角距取样。

3.2.2 离散傅里叶变换的性质

DFT隐含着周期性，因此在讨论DFT的性质时，常与DFS的概念联系起来，并把有限长序列看作周期序列的一个周期来处理。

设x1(n)和x2(n)的长度都为N，且它们对应的DFT分别为X1(k)和X2(k)。

1．线性

设x3(n)=ax1(n)+bx2(n)，a和b都为常数，则

若它们长度不等，取长度最大者，将短的序列通过补零加长，注意此时DFT与未补零的DFT不相等。

此性质可以直接由DFT的定义进行证明。

2．对称性

最常遇到的是实序列。设x(n)是一个长度为N的实序列，且DFT[x(n)]=X(k)，则有

这意味着

或

这就是说，实序列的DFT系数X(k)的模是偶对称序列，辐角是奇对称序列。

对于复序列也有相应的共轭对称性。

3．序列的循环移位

一个长度为N的序列x(n)的循环移位定义为

循环移位分3步计算：

(1)将x(n)延拓成周期为N的周期序列；

(2)将移位得或x((n+m))N；

(3)对x((n+m))N取主值得x((n+m))N·RN(n)。

这个过程如下图所示。

从图中两虚线之间的主值序列的移位情况可以看出，当主值序列左移m个样本时，从右边会同时移进m个样本，而且好像是刚向左边移出的那些样本又从右边循环移了进来。因此取名“循环移位”。

显然，循环移位不同于线性移位

序列循环移位后的DFT为

证明：由周期序列的移位性质得

因x((n+m))N·RN(n)是的主值序列，所以它的DFT就是

的主值，即

根据时域和频域的对偶关系，可以得出

若

则

(2)例子1

0.5

(1)周期延拓：N=5时

2)周期延拓：N=6 时，补零加长

4．循环卷积

设Y(k)=Xl(k)·X2(k)，则

或

由上式表示的卷积称为循环卷积，常记为

证明：

利用DFT的隐含周期性，将Y(k)周期延拓计算后再取主值

m取值的0~N-1范围是主值区间，故

因此

循环卷积的计算是对序列按循环移位后求对应项的乘积

之和，实际上就是周期卷积取主值。

循环卷积的计算可用图3.6来说明。在图3.6(a)中，x1(n)的N个值按顺时针方向均匀分布在内圆周上，x2(n)的N个值按反时针方向均匀分布在外圆周上，把内外圆周上对应的数值两两相乘，然后把乘积相加就得到y(0)。若将外圆周顺时针方向转动一格(如图3.6(b)所示)，将内外圆周上对应的数值两两相乘并把乘积相加，便得到y(1)。依次类推，可以得出y(n)的其它值。因此循环卷积也叫做圆卷积。

图3.7表示的是序列x1(n)和x2(n)的4点(即N=4)循环卷积的计算过程。图中，x1(n)=δ(n)+δ(n-1)+δ(n-2)，x2(n)＝δ(n)+1.5δ(n-1)+2δ(n-2)+2.5δ(n-3)。

这一计算过程分5步：

(1)周期延拓(2)折叠

(3)移位和取主值(4)相乘

(5)相加

考虑到DFT关系的对偶性，可以证明，长为N的两序列之积的DFT等于它们的DFT的循环卷积除以N，即

3种卷积：

线性卷积线性卷积不受主值区间限制

周期卷积

循环卷积是周期卷积取主值，在一定条件下与线性卷积相等。

两个长度都为N的因果序列的循环卷积仍是一个长度为N的序列，而它们的线性卷积却是一个长度为2N-1的序列。

(1)线性卷积

.

线性卷积定义：有限长序列x1(n),0≤n≤N1-1;     x2(n),0≤n≤N2-1

.

则线性卷积为

注意:线性卷积结果长度变为N1+N2-1 .

(2)圆周卷积

.

令

.

则圆周卷积结果长度不变,  为N.

例子线性卷积与圆周卷积步骤比较

得到线性卷积结果的示意图

（1）圆周卷积：(N=7)补零加长

(2)圆周卷积需进行周期延拓，而线卷积无需周期延拓：

圆卷积的反折(并取主值区间）：

(3)平移

（4）相乘

x(k)h(-k)=5×1=5

x(k)h(1-k)=5*2+4*1=14

x(k)h(2-k)=5*3+4*2+3*1=26

x(k)h(3-k)=4*3+3*2+2*1=20

x(k)h(4-k)=3*3+2*2+1*1=14

x(k)h(5-k)=2*3+1*2=8

x(k)h(6-k)=1*3=3

(5)相加

得到圆周卷积的示意图

可见,线性卷积与圆周卷积相同(当N≥[N1(5)+N2(3)-1]=7时)

用图表求解圆卷积

x(k)={5,4,3,2,1},h(n)={1,2,3},同上求N=7点的圆卷积。

解：（1）将x(n)补零加长为x(k)={5,4,3,2,1,0,0},

（2）将h(n)补零加长至N=7，并周期延拓，

（3）反折得到:h(-k)={1,0,0,0,0,3,2}

（4）作图表

结果同上。

结果