3.1离散付里叶级数(DFS)

一、DFS定义

二、DFS正变换

以下由第三种付里叶级数形式为例推导出离散付里叶级数变换。

非周期信号x(n),其DTFT(单位园上Z变换)为

其为周期连续频谱密度函数，对其频域进行采样，使其成为周期性离散频谱函数。设在一周期内采样N个点，则两采样点间距为

即得出DFS的正变换：

得到各抽样频点频率为：

代入DTFT式子中，这时由于抽样，信号变成周期离散信号，得

三、DFS的反变换

解：已知

两边同乘以,并对一个周期求和

根据正交定理

用n替换r,可得：

即得：

四、回顾DFS

设x(n)为周期为N 的周期序列, 则其离散傅里叶级数(DFS) 变换对为:

正变换

反变换

3.1.2离散付里叶级数的性质

一、引言

.

可以由抽样Z变换来解析DFS，它的许多性质与Z变换性质类似。

.

它们与Z变换主要区别为：

.

(1)         与两者具有周期性，与Z变换不同。

.

(2)DFS在时域和频域之间具有严格的对偶关系。

.

它们主要性质分为：线性、序列移位(循环移位)、调制性、周期卷积和

1.  线性

设周期序列和的周期都为N，且

若

则有

2．周期序列的移位

设

则

如果m>N，则m=m1+Nm2

3．周期卷积

设

和

都是周期为N的周期序列，它们的

DFS系数分别为

令

则

上式表示的是两个周期序列的卷积，称为周期卷积。

周期为N的两个序列的周期卷积的离散傅里叶级数等于它们各自离散傅里叶级数的乘积。

周期卷积的计算：

周期卷积中的序列和对m都是周期为N的周期序列，它们的乘积对m也是以N为周期的，周期卷积仅在一个周期内求和。

相乘和相加运算仅在m=0到N-1的区间内进行。计算出n=0到N-1(一个周期)的结果后，再将其进行周期延拓，就得到周期卷积。

周期卷积满足交换律

两个周期序列的乘积的DFS为：

离散傅里叶级数性质汇总