2. 7 系统函数

描述线性非移变系统的方式：

线性常系数差分方程、单位取样响应、频率响应描述、系统函数。

设x(n)、y(n)和h(n)分别是线性非移变系统的输入、输出和单位取样响应，X(z)、Y(z)和H(z)分别表示相应的Z变换。系统函数定义为

它是单位取样响应h(n)的Z变换。

1、系统函数的定义

2、系统函数与系统差分方程的关系

线性非移变系统可以用线性常系数差分方程描述：

对上式两边求Z变换，利用线性性质和时不变性质，得

因此

可见系统函数的系数也正是其差分方程的系数。

系统函数还可以进一步分解成：

式中，{dk)和{cr}分别表示H(z)在z平面上的极点和零点。这样，系统函数可以用z平面上的极点、零点和常数A来确定。

例根据系统函数求差分方程

求该系统的差分方程。

为了求满足该系统输入输出的差分方程，可以将H(z)的分子和分母各因式乘开，而得到如下的形式：

于是，

其差分方程就是

3、系统函数的收敛域与系统的稳定性

已知线性非移变系统稳定的充要条件：

当|z|=1时，上式变成

这就是系统稳定的充要条件。

因此，若系统函数在单位圆上收敛，则系统是稳定的。这也意味着，如果系统函数H(z)的收敛域包括单位圆，则系统是稳定的。反之，如果系统稳定，则系统函数H(z)的收敛域一定也包括单位圆。

显然，一个稳定的因果系统的系统函数的收敛域应该是

例2. 21设一个线性非移变系统的系统函数为

试画出极-零点分布图，并确定H(z)的收敛域和稳定性。

解对H(z)的分母进行因式分解得

极点为z1=-1/4, z2=-1/2；零点为z1=0, z2=1/2。

(1)若收敛域是极点z2=-1/2所在的圆的外部区域，且

说明该系统的Z变换没有正幂项，根据z变换的定义式，说明n≥0时x(n)才有定义，那么系统是因果的。

(2)若收敛域选的是极点z1=-1/4所在的圆的内部区域，且

那么系统是逆因果的，系统的收敛域为

因为收敛域没有包含单位圆，所以系统是不稳定的。

(3)若收敛域是极点z1=-1/4与z2=-1/2所在的两个圆之间的环域，即

则因为单位圆没有包含在收敛域中，所以系统是不稳定的。

系统的收敛域为

因为该收敛域包含了单位圆，所以系统是稳定的。

说明Z变换没有负幂项，根据z变换的定义式，说明n≤0时x(n)才有定义，

从上例可以看出，因果性和稳定性不一定是互为兼容的。要使输入输出满足标准差分方程的线性时不变系统既因果又稳定，相应系统函数的收敛域必须是位于最外面极点的外面，又包括单位圆。

很显然，这就等于要求该系统函数的全部极点都在单位圆内。

系统的描述方法小结

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用系统的数学定义描述：y(n)=T[x(n)]

.

用系统的单位取样响应h(n)来描述

但并不是每个系统都能写出其单位取样响应。

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差分方程描述系统

需附加初始条件，一些瞬态响应求解困难，系统的频

率特性不清楚。

.

系统函数描述系统

易于定性分析，了解系统的稳定性，系统的频率特性

清楚，但不易分析其瞬态响应。

系统的稳定性判别方法

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直接由定义判别：

若|x(n)|≤M，则|y(n)|＜∞

.

对于线性非移变系统，可由其单位取样响应绝对可和

或系统函数的收敛域包含单位圆判别。

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对于因果线性非移变系统，由其系统函数的收敛域或

其极点位置判别。