2.3.1线性非移变系统
一、系统
¨系统可定义为将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的唯一变换或运算，并用T[]表示，即y(n)=T[x(n)]。
二、线性系统
满足叠加原理的系统称为线性系统。设y1(n)和y2(n)分别是系统对输入x1(n)和x2(n)的响应，即
若满足
则此系统是线性系统
三、叠加原理
叠加原理实际上包含两方面性质
1、可加性
2、比例性（或称为齐次性）
a1y1(n)=a1T[x1(n)]=T[a1x1(n)]
a2y2(n)=a2T[x2(n)]=T[a2x2(n)]
结合上述两点可知，叠加原理的一般表达式为
四、线性系统的判别
1.通过叠加原理的一般表达式进行判别
（包括可加性和比例性两个方面）
2.根据比例性的特例进行判别：
零输入产生零输出
x(n)=0 时y(n)=0
线性系统判别，例2.1
y(n)＝T[x(n)]=5x(n)+3所表示的系统是不是线性系统。
解：
经计算：
T[ax1(n)+bx2(n)]=5[ax1(n)+bx2(n)]+3，
而ay1(n)+by2(n)＝5ax1(n)+5bx2(n)+3(a+b)
线性系统判别，例2.2
判断以下系统是否为线性系统: y(n)=4x(n)+6
解：令x1(n)=3, x2(n)=4
则y1(n)+y2(n)=40
T[x1(n)+ x2(n)]=34
不满足可加性不是线性系统
上述两道例题也可以用零输入产生零输出证明
五、非移变系统
若系统的响应与输入信号施加于系统的时刻无关，则称该系统为非移变系统。
即如果输入x(n)产生的输出为y(n)，则输入x(n-k)产生的输出为y(n-k)(k为任意整数)。用数学式表示为：若T[x(n)]=y(n)，则T[x(n-k)]=y(n-k)。在n表示离散时间的情况下，“非移变”特性就是“非时变”特性。
非移变系统例题
例2.2 证明y(n)＝T[x(n)]＝nx(n)不是非移变系统
计算T[x(n-k)]=nx(n-k)，而y(n-k)=(n-k)x(n-k)。
课后思考题：
1、证明
是移不变系统。
2、判定
是否是移不变系统。
2.3. 2 系统的稳定性和因果性
稳定系统是指对于每个有界输入x(n)，都产生有界输出y(n)的系统。即如果|x(n)|≤M(M为正常数)，有|y(n)|<+∞，则该系统被称为稳定系统。
一个线性非移变系统稳定的充分和必要条件是其单位取样响应h(n)绝对可和，即
因果系统是指输出的变化不领先于输入的变化的系统。
一个线性非移变系统为因果系统的充分必要条件是
例2.5 已知一个线性非移变系统的单位取样响应为
讨论其因果性和稳定性。
解：
(1)因果性
因为在n<0时，h(n)≠0，故该系统为非因果系统
(2)稳定性
2.3.3 线性常系数差分方程
一、差分方程是由函数序列的差分来表示的。一个函数序列的一阶向后差分表示为：
二阶向后差分表示为：
引入单位延迟算子D，即Dy(n)=y(n-1)。
二阶向后差分可表示为：
类似地，k阶差分表示为：
线性常系数差分方程的一般形式为：
将方程(2. 22)稍加变换后得：
该式说明，系统在某时刻n的输出值y(n)不仅与该时刻的输入x(n)、过去时刻的输入x(n-1)，x(n-2)等有关，还与该时刻以前的输出值y(n-1)，y(n-2)等有关。
方程(2. 22)的求解可按以下3步进行：
(1)求出对应的齐次方程的通解y1(n)；
(2)确定方程(2. 22)的一个特解y2(n)；
(3)方程(2. 22)的全解y(n)=y1(n)+y2(n)。
首先求方程(2. 22)的齐次通解。与方程(2. 22)对应的齐
次方程为
设通解为cαn，利用微分方程的求解方法，得到其特征方程为：
若特征方程有相异根αi，i=1,2, …,N，则齐次通解
若方程(2. 26)有1个m重根α1，则齐次通解为
例2. 6 求以下齐次差分方程的通解
解:特征方程为:
特征根为:
于是齐次差分方程的通解为:
代人初始条件，可求得
因此通解为
求方程(2．22)的特解。求特解的方法有比较系数法、递推法和卷积法等。比较系数法与微分方程求特解的方法类似，这里主要介绍卷积法。
卷积法的思路是：由于在零状态下，线性非移变系统对输入x(n)的响应y(n)可用式 (2. 19)表示的线性卷积来计算，所以只要求出系统的单位取样响应h(n)，就可求出特解。
根据P21的介绍
为特征方程的解。Ai为分解系数。
方程的特解为：
具体，请见例2. 7。
例2.7因果线性非移变系统求单位阶跃响应
