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个人介绍
群表示论

主讲教师：

教师团队：共1位

  • 丘维声
学校： 北京大学
开课院系： 数学科学学院
专业大类： 数学
开课专业： 概率论与数理统计 
群表示论用具体的线性群（矩阵群）来描述群的理论，是研究群的最有力的工具之一。课程介绍了群表示论研究的对象及作用，讲解透彻，清晰易懂，不容错过。
教师简介

丘维声

职称：教授、博导

单位：北京大学

部门：数学科学学院

职位：中国数学会组合和图论理事会常务理事

群表示论

群表示论用具体的线性群（矩阵群）来描述群的理论，是研究群的最有力的工具之一。在19世纪末和20世纪初它由F.G.弗罗贝尼乌斯和W.伯恩赛德独立开创，而弗罗贝尼乌斯的工作则由I.舒尔所改善和简化。

在群论中，群表示论（group representation theory）是一个非常重要的理论。它包含了（局部）紧致群、李群、李代数及群概形的表示等种种分支，近来无限维表示理论也渐露头角。表示理论在量子物理与数学的各领域中均有重要应用。

群表示论早期是藉矩阵的语言描述的，具体定义如次：

如果任何非零方阵的集合的乘法关系和给定群的乘法关系相同，则这个矩阵集合形成群的一个表示，这套矩阵的阶称为表示的维数。 如果两个同维表示的矩阵以同一相似变换相关联，则称这两个表示是等价的。 如果任何维数大于一的表示的所有矩阵都可以用相同的相似变换转换为相同的块对角矩阵结构，则称此表示为可约表示，反之称为不可约表示。 形式地说，一个群G的表示乃一同态 ，其中V为给定的有限维向量空间，系数布于一个域F，通常取R或C，但在一般域（如局部域或有限域）上的表示也有重要应用。GL(V)表从V上的自同构，或对一给定的基底来说，是阶可逆方阵的集合。若Ker(ρ)是平凡的，则称此表现是忠实的。

若所考虑的群G带有额外的结构（如拓扑群、李群或群概形），我们通常要求ρ满足相应的条件（如连续性、可微性或者要求它是概形间的态射）；在有限群及紧致群以外的情况，通常也须考虑无穷维表示。

一个群G的所有有限维表示构成一个张量范畴，记为RepG；其态射定义如下：

它等价于有限维F[G]-模所构成的范畴。不难验证表示间的同构确由矩阵的相似变换给出。一个表示被称作不可约的，当且仅当它没有在G的作用下不变的非平凡子空间。若一个表现能表成不可约表示的直和，则称之为完全可约的。若取，则紧致群的表示均为完全可约的，对于一般的李群及群概形则复杂得多，完全可约与否通常与半单性有关。

拓扑群

又名连续群,是具有拓扑空间结构的群。设G是拓扑空间，又是一个群，而且群的乘积运算与求逆按此拓扑是连续的，即从拓扑空间G×G到拓扑空间G上的映射m∶(x,y)→x·y及从G到G上的映射ƒ:x→x-1都是连续映射，则称G为拓扑群。如果G作为拓扑空间是局部紧(或紧、连通、单连通)的,则称G为局部紧(或紧、连通、单连通)拓扑群。例如,n维欧氏空间中所有向量所成的加群，再加上通常的拓扑，就是一个交换拓扑群；实数域R上所有n阶非奇异方阵所成的乘法群GL(n,R),再加上通常的拓扑，是一个局部紧拓扑群;而所有行列式为1的正交矩阵所成的群SO(n,R)是一个紧连通拓扑群。 
　　从拓扑群G到拓扑群H内的映射ƒ:G→H,如果作为群结构它是群同态，作为拓扑空间的映射它是连续的，那么ƒ称为从拓扑群G到拓扑群H的同态，简称同态。如果同态ƒ是双射, 而且逆映射ƒ-1也是连续的，那么ƒ称为拓扑群G到拓扑群H上的同构映射，简称同构。拓扑群全体带上拓扑群间的同态，构成一个范畴。这个范畴就是拓扑群论研究的对象。 
　　在数学中，拓扑群概念最初是由连续变换群的研究所引起，人们发现在处理许多连续变换群的问题中所出现的群，往往不必考虑作变换群，而只需研究这些群本身，于是产生了连续群的概念。M.S.李是最初对连续群进行系统研究而卓有成就的人。李群就是因他得名。  
　　如果拓扑群G的子集H是群G的子群,那么H加上由G的拓扑继承下来的拓扑也构成拓扑群，就称H为拓扑群G的拓扑子群；如果H 又是G 的闭（开）子集，那么H 称为G 的闭(开)子群。开子群一定是闭子群。拓扑群G 的子群H 的闭包啛 也是拓扑子群。拓扑群G 的中心与换位子群都是G 的闭正规子群。给出拓扑群G 的子群H,就可以有左陪集的集合G/H ={αH丨α∈G},有从G 到G/H上的自然映射π∶G→G/H,π(α)=αH,对α∈G,G/H上使π连续的最强拓扑，使G/H成拓扑空间，称为G关于子群H 的左陪集空间。同样有右陪集空间H\G。于是, G/H是豪斯多夫空间当且仅当H是闭子群。G/H是离散的,当且仅当H是开子群。如果H是拓扑群G 的正规子群，那么商群G/H再加上上述陪集空间拓扑，使G/H成拓扑群，称为拓扑群G按正规子群H所做得的商群。这时，从拓扑群G到拓扑群G/H的自然映射 π是拓扑群间的开同态（作为拓扑空间的映射把开集映到开集）。还有类似于群同态基本定理的同态定理：如果ƒ是从拓扑群G到拓扑群G1上的开同态映射，N为ƒ的核,那么N是G的闭正规子群，而且由ƒ导出G/N到G1上的映射是拓扑群间的同构映射。 

李群

在数学中，李群（Lie group）是具有群结构的实流形或者复流形，并且群中的加法运算和逆元运算是栁形中的 解析映射。李群在数学分析、物理和几何中都有非常重要的作用。

李群定义

- 两个解析映射，乘法运算G×G →G，和逆映射G →G满足群公理，从而具有群结构。

- G为有限维实解析流形

同态和同构

G,H均为李群，二者之间的一个同态：f\,:G\rightarrow H为 群 并且是 解析映射 （事实上，可以证明这里解析的条件堪需满足连续即可）。显然，两个同态砄复合是同态。所有李群的 类 加上同态构成一个 范畴。两个李群之间存在一个 双射 ，这个双射及其逆射均为同态，就称为同构。

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有限维单代数的结构（七）
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有限维单代数的结构（八）
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有限维单代数的结构（九）
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有限维单代数的结构（十）
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无限群的线性表示（二）
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群的特征标（三）
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无限群的线性表示（三）
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群的特征标（四）
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无限群的线性表示（四）
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无限群的线性表示（五）
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拓扑空间（三）
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群的特征标（八）
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拓扑空间（四）
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群的特征标（九）
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拓扑空间（五）
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拓扑空间（六）
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拓扑空间（七）
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拓扑空间（八）
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拓扑空间（九）
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群的特征标（十四）
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拓扑空间（十）
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群的特征标（二十五）
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群的特征标（二十六）
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不可约表示在群论中的应用（一）
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群表示论引言（四）
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群表示论引言（五）
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群表示论引言（六）
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群表示论的基本概念和Abel群的表示（一）
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群表示论的基本概念和Abel群的表示（二）
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群表示论的基本概念和Abel群的表示（三）
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群表示论的基本概念和Abel群的表示（四）
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群表示论的基本概念和Abel群的表示（五）
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群表示论引言（一）
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群表示论引言（二）
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群表示论引言（三）
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