◆ ◆
个人介绍
李群李代数与纤维丛

主讲教师：

教师团队：共1位

  • 梁灿彬
专业大类： 数学
开课专业： 计算数学 
本系列介绍了群论初步、李群、李代数、单参子群和指数映射、常用李群及其李代数、李代数的结构常数、李变换群和Killing矢量场、伴随表示和Killing型、固有洛伦兹群和洛伦兹代数、洛伦兹群的物理应用、主纤维丛、主丛上的联络、与主丛相伴的纤维丛(伴丛)、物理场的整体规范不变性、物理场的局域规范不变性、截面的物理意义、规范势与联络、规范场强与曲率、矢丛上的联络和协变导数。李群与李代数是核心数学的一个重要分支，在数学的许多方向以及物理学、化学等其他学科中有着广泛的应用，在方法上涉及分析、代数、几何等多个方面。
教师团队

梁灿彬

职称：教授

单位：北京大学

部门：物理系

职位：博导

李代数

简介

一类重要的非结合代数。非结合代数是环论的一个分支，与结合代数有着密切联系。结合代数的定义中把乘法结合律删去，就是非结合代数。

李代数是挪威数学家S．李（数学家李）在19世纪后期研究连续变换群时引进的一个数学概念，它与李群的研究密切相关。在更早些时候，它曾以含蓄的形式出现在力学中，其先决条件是“无穷小变换”概念，这至少可追溯到微积分的发端时代。可用李代数语言表述的最早事实之一是关于哈密顿方程的积分问题。S．李是从探讨具有r个参数的有限单群的结构开始的，并发现李代数的四种主要类型。法国数学家嘉当在1894年的论文中给出变数和参变数在复数域中的全部单李代数的一个完全分类。他和德国数学家基灵都发现，全部单李代数分成4个类型和5个例外代数，嘉当还构造出这些例外代数。嘉当和德国数学家外尔还用表示论来研究李代数，后者得到一个关键性的结果。“李代数”这个术语是1934年由外尔引进的。随着时间的推移，李代数在数学以及古典力学和量子力学中的地位不断上升。到20世纪80年代，李代数不再仅仅被理解为群论问题线性化的工具，它还是有限群理论及线性代数中许多重要问题的来源。李代数的理论不断得到完善和发展，其理论与方法已渗透到数学和理论物理的许多领域。

李定理

令F是一个特征为0的代数闭域，V是F上一个n（大于零）维向量空间,g是g{(V)的一个可解子代数，则存在V 的一个非零向量v，使得对于每一X ∈g都有Xv=φ(X)v，φ(X)∈F。因此适当选取V的基可以使得g嶅t(n，F)。

单李代数、半单李代数 　域F上一个李代数g是所谓单的，即指除了g本身和{0}以外,g不含其他理想。F上一个有限维李代数g是所谓半单的，即指g不含非零可解理想。每一个有限维李代数g都含有惟一的最大可解理想r,就是这样一个理想, 它包含g的一切可解理想，称为g的根基。g是半单的当且仅当它的根基 r={0}。除一维李代数外,有限维单李代数都是半单的。特征为0的域上每一个半单李代数都是一些单李代数的直和。

李代数的表示

令g是域F上一个李代数，V 是F上一个向量空间。李代数的一个同态ρ: g→g{(V)，称为g在V上的一个线性表示,简称表示。用(ρ，V)代表g在V上的表示ρ，V称为ρ的表示空间。当dimV=n时,取定V的一个基，将g{(V)与g{(n,F)看成一样,于是就得到一个李代数同态ρ: g→g{(n,F)，仍记作ρ,称为g的一个矩阵表示。如果g的一个表示ρ是单射，那么就称(ρ,V)是一个忠实表示。有阿多－岩沢定理：域F上每一个有限维李代数都有一个忠实表示。

设(ρ,V)是李代数g的一个表示。V的一个子空间W称为ρ(g)不变的，即指W在一切ρ(X)(X∈g)之下不变。李代数g的一个表示(ρ,V)称为不可约的，是指除{0}和V本身外,V没有其他ρ(g)不变子空间。所谓(ρ,V)是完全可约的,意即V是一些ρ(g)不变的子空间的直和,并且ρ在每一个这样的子空间上的限制都是不可约的。有外尔定理：特征为 0的域上半单李代数的每一（有限维）表示都是完全可约的。最重要的一种表示就是所谓伴随表示。设X是李代数g的一个元素。对于每一Y∈g，定义adX(Y)=【X,Y】，则adX是g的一个线性变换,并且ad∶X→adX(X∈g)是g到g{(g)的一个同态映射(利用雅可比恒等式很容易验证)。因此，(ad,g)是g的一个表示。表示空间就是g本身，称为g的伴随表示。

设(ρ，V)是g的一个有限维表示。定义一个对称双线性型 k:g×g→F；对于X、Y ∈g, 定义k(X,Y)=Trρ(X)·ρ(Y)(ρ(X)ρ(Y)的迹)。特别,当g是有限维的而ρ是伴随表示ad时, k称为g的基灵型。基灵型在研究李代数的结构中起重要的作用。例如有嘉当判定准则：特征为0的域上一个(有限维)李代数是半单的,必要而且只要g的基灵型非退化。

纤维丛

理论介绍

每个纤维丛有个连续满射

π： E → B

使得E对于某个F (称为纤维空间）局部看来象直积空间

B × F

(这里局部表示在B上局部。） 一个可以整体上如此表达的丛（通过一个保持π的同胚）叫做平凡丛。丛的理论建立在如何用一些比这个直接的定义更简单的方法表达丛不是平凡丛的意义的问题之上。

纤维丛扩展了矢量丛，矢量丛的主要实例就是流形的切丛。他们在微分拓扑和微分几何领域有着重要的作用。他们也是规范场论的基本概念。

形式化定义

一个纤维丛由四元组（E,B,π，F)组成，其中E,B,F是拓扑空间而π： E → B是一个 连续满射，满足下面给出的局部平凡条件。B称为丛的基空间，E称为总空间，而F称为纤维。映射π称为投影映射。下面我们假定基空间B是连通的。

我们要求对于B中的每个x,存在一个x的开邻域U，使得π?1(U)是同胚于积空间U × F的，并满足π 转过去就变成到第一个因子的投影。也就是一下的图可交换：

其中Proj1 :U × F → U是自然投影而φ： π^-1(U) → U × F是一个同胚。所有{(U,φ）}的集合称为丛的局部平凡化。

对于B中每个x,原象 π^-1(x) 和F同胚并称为x上的纤维。一个纤维丛（E,B,π，F)经常记为

以引入一个空间的短恰当序列。注意每个纤维从π： E → B 都是一个开映射，因为积空间的投影是开映射。所以B 有由映射π决定的商拓扑。

一个光滑纤维丛是一个在光滑流形的范畴内的纤维丛。也就是，E,B,F都必须是光滑流形而所有上面用到的函数都必须是光滑映射。这是纤维丛研究和使用的通常环境。

例子

令E = B × F 并令π： E → B为对第一个因子的投影，则E是B上的丛。这里E不仅是局部的积而且是整体的积。任何这样的纤维丛称为平凡丛。

莫比乌斯带是圆上的非平凡丛。

最简单的非平凡丛的例子可能要算莫比乌斯带（Möbius strip)。 莫比乌斯带是一个以圆为基空间B并以线段为纤维F的丛。对于一点的邻域是一段圆弧；在图中，就是其中一个方块的长。原象π^-1(x)在图中是个 (有些扭转的）切片，4个方块宽一个方块长。同胚φ把U的原象映到柱面的一块:弯曲但不扭转。

相应的平凡丛B × F看起来像一个圆柱，但是莫比乌斯带有个整体上的扭转。注意这个扭转只有整体上才能看出来；局部看来莫比乌斯带和圆柱完全一样（在其中任何一个竖直的切一刀会产生同样的空间）。一个类似的非平凡丛是克莱因瓶，它可以看作是一个"扭转"的圆在另一个圆上的丛。相应的平凡丛是一个环， S1 × S1。

一个覆盖空间是一个以离散空间为纤维的纤维丛。

纤维丛的一个特例，叫做矢量丛，是那些纤维为矢量空间的丛（要成为一个矢量丛，丛的结构群—见下面—必须是一个线性群）。矢量丛的重要实例包括光滑流形的切丛和余切丛。

另一个纤维丛的特例叫做主丛。更多的例子参看该条目。

一个球丛是一个纤维为n-球的纤维丛。给定一个有度量的矢量丛（例如黎曼流形的切丛），可以构造一个相应的单位球丛，其在一点x的纤维是所有Ex的单位矢量的集合。

参考教材



课程评价

课程章节
1
李群和李代数（一）
2
李群和李代数（二）
3
李群和李代数（三）
4
李群和李代数（四）
5
李群和李代数（五）
6
李群和李代数（六）
7
李群和李代数（七）
8
李群和李代数（八）
9
李群和李代数（九）
10
李群和李代数（十）
11
李群和李代数（十一）
12
李群和李代数（十二）
13
李群和李代数（十三）
14
李群和李代数（十四）
15
李群和李代数（十五）
16
李群和李代数（十六）
17
李群和李代数（十七）
18
李群和李代数（十八）
19
李群和李代数（十九）
20
李群和李代数（二十）
21
李群和李代数（二十一）
22
李群和李代数（二十二）
23
李群和李代数（二十三）
24
李群和李代数（二十四）
25
李群和李代数（二十五）
26
李群和李代数（二十六）
27
李群和李代数（二十七）
28
李群和李代数（二十八）
29
李群和李代数（二十九）
30
李群和李代数（三十）
31
李群和李代数（三十一）
32
李群和李代数（三十二）
33
李群和李代数（三十三）
34
李群和李代数（三十四）
35
李群和李代数（三十五）
36
李群和李代数（三十六）
37
李群和李代数（三十七）
38
李群和李代数（三十八）
39
李群和李代数（三十九）
40
李群和李代数（四十）
41
李群和李代数（四十一）
42
李群和李代数（四十二）
43
李群和李代数（四十三）
44
李群和李代数（四十四）
45
李群和李代数（四十五）
46
李群和李代数（四十六）
47
李群和李代数（四十七）
48
李群和李代数（四十八）
49
李群和李代数（四十九）
50
李群和李代数（五十）
51
李群和李代数（五十一）
52
李群和李代数（五十二）
53
李群和李代数（五十三）
54
李群和李代数（五十四）
55
李群和李代数（五十五）
56
李群和李代数（五十六）
57
李群和李代数（五十七）
58
李群和李代数（五十八）
59
李群和李代数（五十九）
60
李群和李代数（六十）
61
纤维丛及其在规范场论的应用（一）
62
纤维丛及其在规范场论的应用（二）
63
纤维丛及其在规范场论的应用（三）
64
纤维丛及其在规范场论的应用（四）
65
纤维丛及其在规范场论的应用（五）
66
纤维丛及其在规范场论的应用（六）
67
纤维丛及其在规范场论的应用（七）
68
纤维丛及其在规范场论的应用（八）
69
纤维丛及其在规范场论的应用（九）
70
纤维丛及其在规范场论的应用（十）
71
纤维丛及其在规范场论的应用（十一）
72
纤维丛及其在规范场论的应用（十二）
73
纤维丛及其在规范场论的应用（十三）
74
纤维丛及其在规范场论的应用（十四）
75
纤维丛及其在规范场论的应用（十五）
76
纤维丛及其在规范场论的应用（十六）
77
纤维丛及其在规范场论的应用（十七）
78
纤维丛及其在规范场论的应用（十八）
79
纤维丛及其在规范场论的应用（十九）
80
纤维丛及其在规范场论的应用（二十）
81
纤维丛及其在规范场论的应用（二十一）
82
纤维丛及其在规范场论的应用（二十二）
83
纤维丛及其在规范场论的应用（二十三）
84
纤维丛及其在规范场论的应用（二十四）
85
纤维丛及其在规范场论的应用（二十五）
86
纤维丛及其在规范场论的应用（二十六）
87
纤维丛及其在规范场论的应用（二十七）
88
纤维丛及其在规范场论的应用（二十八）
89
纤维丛及其在规范场论的应用（二十九）
90
纤维丛及其在规范场论的应用（三十）
91
纤维丛及其在规范场论的应用（三十一）
92
纤维丛及其在规范场论的应用（三十二）
93
纤维丛及其在规范场论的应用（三十三）
94
纤维丛及其在规范场论的应用（三十四）
95
纤维丛及其在规范场论的应用（三十五）
96
纤维丛及其在规范场论的应用（三十六）
97
纤维丛及其在规范场论的应用（三十七）
98
纤维丛及其在规范场论的应用（三十八）
99
纤维丛及其在规范场论的应用（三十九）
100
纤维丛及其在规范场论的应用（四十）
101
纤维丛及其在规范场论的应用（四十一）
102
纤维丛及其在规范场论的应用（四十二）
103
纤维丛及其在规范场论的应用（四十三）
104
纤维丛及其在规范场论的应用（四十四）
105
纤维丛及其在规范场论的应用（四十五）
106
纤维丛及其在规范场论的应用（四十六）
107
纤维丛及其在规范场论的应用（四十七）
108
纤维丛及其在规范场论的应用（四十八）
109
纤维丛及其在规范场论的应用（四十九）
110
纤维丛及其在规范场论的应用（五十）
111
纤维丛及其在规范场论的应用（五十一）
112
纤维丛及其在规范场论的应用（五十二）
113
纤维丛及其在规范场论的应用（五十三）
114
纤维丛及其在规范场论的应用（五十四）
115
纤维丛及其在规范场论的应用（五十五）
116
纤维丛及其在规范场论的应用（五十六）
117
纤维丛及其在规范场论的应用（五十七）
118
纤维丛及其在规范场论的应用（五十八）
119
纤维丛及其在规范场论的应用（五十九）
120
纤维丛及其在规范场论的应用（六十）
121
纤维丛及其在规范场论的应用（六十一）
122
纤维丛及其在规范场论的应用（六十二）
123
纤维丛及其在规范场论的应用（六十三）
124
纤维丛及其在规范场论的应用（六十四）
125
纤维丛及其在规范场论的应用（六十五）
126
纤维丛及其在规范场论的应用（六十六）
127
纤维丛及其在规范场论的应用（六十七）
128
纤维丛及其在规范场论的应用（六十八）
129
纤维丛及其在规范场论的应用（六十九）
130
纤维丛及其在规范场论的应用（七十）
131
纤维丛及其在规范场论的应用（七十一）
132
纤维丛及其在规范场论的应用（七十二）
133
纤维丛及其在规范场论的应用（七十三）
134
纤维丛及其在规范场论的应用（七十四）
135
纤维丛及其在规范场论的应用（七十五）
136
纤维丛及其在规范场论的应用（七十六）
举报
提示框
取消 进入课程
提示框
确定要报名此课程吗？
确定取消

京ICP备10040544号-2

京公网安备 11010802021885号