第1章 行列式

【内容提要】

§1.1 n元排列

一、n元排列及相关概念

§1.2 n阶行列式的定义

一、n阶行列式的定义

§1.3 行列式的性质

一、行列式的性质

二、依性质计算行列式的方法

§1.4 行列式按一行(一列)展开

一、余子式与代数余子式

二、行列式按一行(一列)展开定理

三、行列式的计算(或证明)方法

§1.5 克莱姆法则

一、克莱姆法则

§1.6 行列式按k行(k列)展开

一、k阶子式、余子式与代数余子式

二、行列式按k行(k列)展开定理

§1.7 数域

一、数域的定义

【基本要求】

1. 理解与n元排列相关的概念；理解和掌握与n元排列相关的定理.

2. 理解n阶行列式的定义；理解和掌握上(下)三角(对角)行列式的结论。

3. 理解和掌握行列式的性质；熟练运用行列式的性质计算行列式。

4. 理解和掌握余子式与代数余子式的定义；理解和掌握行列式按一行(一列)展开定理；掌握利用性质和展开

定理计算行列式的方法。

5. 理解和掌握克莱姆法则；掌握利用克莱姆法则求解线性方程组的方法。

6. 理解k阶子式、余子式与代数余子式的概念；理解和掌握行列式按k行(k列)展开定理。

7. 理解数域的定义。

第2章 线性方程组

【内容提要】

§2.1 线性方程组解的情形及判别准则

一、利用高斯-若当算法解线性方程组

二、引入矩阵诠释高斯-若当算法

三、线性方程组解的情形及其判别准则

四、齐次线性方程组解的情形及其判别准则

§2.2  n维向量

一、n维向量空间Kⁿ

二、向量间的线性表示关系

§2.3 线性相关与线性无关的向量组

一、线性相关与线性无关的定义

二、线性相关与线性无关向量组的本质区别

三、线性相关与线性无关向量组的相关结论

§2.4 极大线性无关组×向量组的秩

一、向量组的极大线性无关组

二、向量组的秩

§2.5 矩阵的秩

一、矩阵的行秩与列秩

二、初等变换对矩阵行秩和列秩的影响

三、矩阵的秩与其最高阶非零子式的关系

§2.6 线性方程组有解的充分必要条件

一、线性方程组有解的充分必要条件

二、有解的线性方程组解的情形的判别

§2.7 齐次线性方程组解集的结构

一、齐次线性方程组解的性质

二、齐次线性方程组的解集

§2.8 非齐次线性方程组解集的结构

一、非齐次线性方程组解的性质

二、非齐次线性方程组的解集

【基本要求】

1. 领会高斯-若当算法求解线性方程组的程序化步骤；掌握利用矩阵诠释高斯-若当算法；理解和掌握线性方程组解的情形及其判别准则；理解和掌握齐次线性方程组解的情形及判别准则。

2. 理解n维向量空间Kⁿ的定义；掌握向量间的线性表示关系。

3. 理解线性相关与线性无关的定义；理解和掌握线性相关与线性无关向量组的本质区别。

4. 理解等价向量组的定义；理解向量组的极大线性无关组的定义；理解向量组的秩的定义；理解和掌握向量组极大线性无关组的相关定理；理解和掌握向量组秩的相关定理。

5. 理解矩阵秩的定义；理解和掌握矩阵的初等变换对其行秩和列秩的影响；理解和掌握矩阵的秩与其最高阶非零子式的关系。

6. 理解和掌握线性方程组有解的充分必要条件；理解和掌握有解的线性方程组解的情形的判别及求解步骤。

7. 理解基础解系的定义；理解和掌握齐次线性方程组解的性质；理解和掌握齐次线性方程组解集的结构。

8. 理解和掌握非齐次线性方程组解的性质。理解和掌握非齐次线性方程组解集的结构。

第3章 矩阵

【内容提要】

§3.1 矩阵的运算

一、矩阵的加法

二、数与矩阵的数量乘法

三、矩阵的乘法

四、方阵的幂与方阵多项式

五、线性方程组的矩阵表示

六、矩阵的转置及其运算

七、方阵的行列式及其运算

§3.2 几种特殊的矩阵

一、对角矩阵

二、数量矩阵

三、上(下)三角形矩阵

四、对称矩阵与反对称矩阵

§3.3 分块矩阵

一、分块矩阵及其运算规则

二、分块矩阵的应用

三、分块矩阵应用举例

§3.4 可逆矩阵

一、可逆矩阵及矩阵可逆的充分必要条件

二、可逆矩阵的性质

三、特型分块矩阵求逆阵

四、解矩阵方程

§3.5 初等矩阵

一、初等矩阵及其性质

二、矩阵的等价(相抵)

三、初等变换法求逆矩阵

四、初等变换法解矩阵方程

【基本要求】

1. 理解和掌握矩阵加法的运算规则；理解和掌握数与矩阵数量乘法的运算规则；理解和掌握矩阵乘法的运算规则；理解和掌握方阵幂与方阵多项式及其运算规则；理解和掌握线性方程组的矩阵表示；理解和掌握矩阵转置及其运算规则；理解和掌握方阵行列式及其运算规则。

2. 理解特型矩阵(对角矩阵、数量矩阵、上(下)三角矩阵、对称矩阵与反对称矩阵)的定义；理解和掌握特型矩阵的性质。

3. 理解与掌握分块矩阵及其运算规则；理解与掌握分块矩阵的应用方法及相关结论。

4. 理解可逆矩阵及逆矩阵的定义；理解和掌握矩阵可逆的充分必要条件；理解和掌握可逆矩阵的性质；理解和掌握特型分块矩阵求逆矩阵的方法；理解和掌握利用逆矩阵解矩阵方程的方法。

5. 理解初等矩阵的定义；理解和掌握初等矩阵的性质；理解和掌握矩阵等价及其性质；理解和掌握求逆矩阵的初等变换法；理解和掌握解矩阵方程的初等变换法。

第4章 向量空间

【内容提要】

§ 4.1 线性空间

一、线性空间的定义

二、向量组的线性相关与线性无关

三、线性空间的基与维数

四、线性空间的基变换与坐标变换公式

五、基变换与坐标变换公式应用举例

六、线性子空间

§ 4.2 向量内积

一、向量内积的定义与性质

二、向量长度的定义与性质

三、向量正交的定义与性质

§ 4.3 正交矩阵

一、标准正交基的定义

二、正交矩阵的定义及其性质

三、标准正交基的求法

【基本要求】

1. 理解线性空间的定义；理解向量组线性相关与线性无关的相关结论；理解线性空间基与维数的定义；理解和掌握基变换公式与坐标变换公式；熟练掌握基变换公式与坐标变换公式的应用方法；理解线性子空间的定义；理解和掌握线性子空间的判别定理。

2. 理解向量内积、长度及正交的定义；理解与掌握向量内积、长度及正交的性质。

3. 理解标准正交基的定义；理解正交矩阵的定义；理解与掌握正交矩阵的性质；理解与掌握标准正交基的求法。

第5章 矩阵的相似

【内容提要】

§5.1 矩阵的特征值和特征向量

一、特征值与特征向量的定义

二、特征值与特征向量的性质

三、特征值与特征向量的计算方法

四、相关矩阵的特征值和特征向量

五、矩阵的特征多项式

§5.2 矩阵的相似与矩阵可对角化条件

一、矩阵相似的定义与相似矩阵的性质

二、矩阵可对角化的条件

三、矩阵可对角化的应用举例

四、可对角化矩阵的相关结论

五、若当形矩阵(*)

§5.3 实对称矩阵的对角化

一、实对称矩阵特征值与特征向量的性质

二、实对称矩阵必可对角化

三、实对称矩阵对角化的方法

【基本要求】

1. 理解特征值与特征向量的定义；理解与掌握特征值与特征向量的性质；理解与掌握特征值与特征向量的计算方法；理解与掌握相关矩阵特征值和特征向量的结论；理解与掌握矩阵的特征多项式的相关结论。

2. 理解矩阵相似的定义；理解和掌握相似矩阵的性质；理解与掌握矩阵可对角化的相关定理；熟练掌握可对角化矩阵对角化的方法；理解和掌握可对角化矩阵的相关结论；了解若当形矩阵。

3. 理解和掌握实对称矩阵特征值和特征向量的性质；理解实对称矩阵必可对角化；掌握实对称矩阵对角化的方法。

第6章 二次型×矩阵的合同

【内容提要】

§6.1 二次型及其标准形

一、二次型及其矩阵

二、矩阵的合同

三、二次型的标准形

四、正交替换法化实二次型为标准形

五、配方法化二次型为标准形

六、二次型等价于标准形

七、矩阵的成对初等行、列变换法原理

八、二次型的秩

九、矩阵间三种关系的揭示与比较

§6.2 实二次型的规范形

一、实二次型的规范形

二、实对称矩阵的合同规范形

三、实对称矩阵的合同类

§6.3 正定二次型与正定矩阵

一、正定二次型的定义

二、实二次型为正定二次型的充分必要条件

三、正定矩阵的定义

四、实对称矩阵为正定矩阵的充分必要条件

五、正定矩阵的性质

六、其他二次型及其矩阵

七、形如A^TA, AA^T(A为实阵)的正定性结论

【基本要求】

1. 理解二次型及其矩阵的概念；理解矩阵合同的定义；理解和掌握合同矩阵的性质；理解二次型标准形的定义；掌握正交替换法化实二次型为标准形的方法；理解和掌握二次型等价于标准形的相关定理；掌握用配方法化二次型为标准形的方法；理解和掌握矩阵的成对初等行、列变换法原理及其应用；理解和掌握二次型的秩及相关定理；理解初等行、列变换之于矩阵间的三种关系及其区别。

2. 理解实二次型规范形的定义；理解和掌握实二次型规范形的唯一性；理解实对称矩阵合同规范形的概念；理解和掌握实对称矩阵的合同类。

3. 理解正定二次型的定义；理解和掌握实二次型为正定二次型的充分必要条件；理解正定矩阵的定义；理解和掌握实对称矩阵为正定矩阵的充分必要条件；理解和掌握正定矩阵的性质；理解其他二次型及其矩阵，理解和掌握矩阵A^TA, AA^T的正定性结论。

单位：学时           

注 上述教学计划仅供参考，待节假日和校运会，教师可依学校安排适时调整。