椭圆的标准方程共分两种情况：

当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；

当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；

其中a^2-c^2=b^2

方程推导如果在一个平面内一个动点到两个定点的距离的和等于定长，那么这个动点的轨迹叫做椭圆。

假设（注意所有假设只是为了导出椭圆方程时比较简便）动点为，两个定点为和，则根据定义，动点的轨迹方程满足（定义式）：

，其中为定长。

用两点的距离公式可得：，，代入定义式中，得：

整理上式，并化简，得：

①

当时，并设，则①式可以进一步化简：

②

因为，将②式两边同除以，可得：

则该方程即动点的轨迹方程，即椭圆的方程。这个形式也是椭圆的标准方程。

椭圆的图像如果在直角坐标系中表示，那么上述定义中两个定点被定义在了x轴。若将两个定点改在y轴，可以用相同方法求出另一个椭圆的标准方程：

在方程中，所设的称为长轴长，称为短轴长，而所设的定点称为焦点，那么称为焦距。在假设的过程中，假设了，如果不这样假设，会发现得不到椭圆。当时，这个动点的轨迹是一个线段；当时，根本得不到实际存在的轨迹，而这时，其轨迹称为虚椭圆。另外还要注意，在假设中，还有一处：。

通常认为圆是椭圆的一种特殊情况。

非标准方程其方程是二元二次方程，可以利用二元二次方程的性质进行计算，分析其特性。

抛物型偏微分方程简称抛物型方程，一类重要的偏微分方程。热传导方程是最简单的一种抛物型方程。 热传导方程 研究热传导过程的一个简单数学模型。根据热量守恒定律和傅里叶热传导实验定律导致热传导方程

简介：式中u是温度;Δ是拉普拉斯算符;α2是导温系数;；k是热传导系数；с、ρ分别是比热和密度；F是外加热源密度。自然界还有很多现象同样可以用方程(1)来描述,例如分子在介质中的扩散过程等，因此方程(1)通常亦称为扩散方程。

定解问题：为了确定一个具体的热传导过程，除了列出方程(1)以外,还必须知道物体Ω  抛物型偏微分方程的初始温度（初始条件）和在它的边界嬠Ω上所受到的外界的影响(边界条件)。初始条件：边界条件，最通常的形式有三类。

第一边界条件（或称狄利克雷条件）：即表面温度为已知函数。

第二边界条件（或称诺伊曼条件）：式中n是Ω的外法向，即通过表面的热量已知。

第三边界条件（或称罗宾条件）：式中α≥0；即物体表面给定热交换条件。 　除了以上三类边界条件外还可以在边界嬠Ω上给定其他形式的边界条件，如斜微商条件、混合边界条件等。

方程(1)连同初始条件(2)以及边界条件(3)、(4)、(5)中的任意一个一起构成了抛物型偏微分方程

一个定解问题,根据边界条件的不同形式，分别称为第一、二、三边值问题，统称为热传导方程的初边值问题或混合问题。若Ω呏R3,则由方程(1)和初始条件(2)构成的定解问题称为热传导方程的初值问题或柯西问题。

抛物型方程和椭圆型方程的研究有相似的地方，它们互相影响、互为借鉴。椭圆型方程理论很多结果在抛物型方程中都有相应的定理，例如先验估计、极值原理等。