李群和李代数理论是现代数学和物理学的重要工具，也是比较深刻和难学的理论。各种矩阵群和矩阵代
数是李群和李代数最典型和最重要的例子。
从矩阵出发讲述这部分数学知识，既能使学生把握内容实质，又能使学生学会计算和使用，所以这是一本不可多得的好课程，应当鼓励用这种方法讲述李群和李代数。
就内容而言，本课程本质上不超出我国大学线性代数、抽象代数和一般拓扑学的教学内容：但是本书所讲述的是李群和李代数基础理论。
本课程内容先进，讲述方法科学，有大量例子和习题，并附有习题解答或提示，易于使用。
解析李群与光滑李群
部份书籍在定义李群时假设了解析性，本条目采相同定义。另一种进路则是定义李群为实光滑（简记为C^\infty）流形，并具有光滑的群二元运算与逆元运算。解析条件看似较强，实则两者等价，定理，任意C^\infty李群上具有唯一的实解析流形结构，使得群二元运算及逆元运算皆为解析映射。此时指数映射亦为解析映射。
李代数
李代数刻划了李群在单位元附近的局部性状；借助指数映射或源自李代数的叶状结构，可以将李代数的性质提升到李群的层次。
设G为李群，其李代数\mathfrak{g}定义为G在单位元的切空间。\mathfrak{g}自然具备了矢量空间结构，\mathfrak{g}上的李括积[,]: \mathfrak{g} \times \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}定义如下：
定义G对自身的伴随作用为 \mathrm{Ad}(x)(y) := x y x^{-1}，x,y \in G。
取Ad对变元y \in G在单位元上的微分，得到李代数上的伴随作用，通常记为\mathrm{Ad}(x)(Y) = x Y x^{-1}，x \in G, Y \in \mathfrak{g}。
再对变元x \in G微分，得到映射\mathrm{ad}: \mathfrak{g} \times \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}。定义李括积为[X,Y] := \mathrm{ad}(X)(Y)。
不难验证[,]满足李代数的抽象定义。李括积蕴含了群乘法的无穷小性质，例如：连通李群G是交换群当且仅当\mathfrak{g}是交换李代数。
李括积也可以用左不变矢量场及泊松括号定义，或者取定局部坐标，用群乘法映射在原点的泰勒级数定义。
李群对应李代数
若G是李群，H \subset G是其子群，并带有李群结构，使得包含映射H \to G为浸入（不一定是闭
的），则可得到子李代数\mathfrak{h} \subset \mathfrak{g}。反之，任意子李代数\mathfrak{h}透过左平移定义了G上的叶状结构，取含单位元的极大积分流形，便得到满足前述条件的子群H \subset G。此子群未必是闭子群，它可能是G的稠密子集（考虑环面的例子）。
李代数的映射\mathfrak{g}_1 \to \mathfrak{g}_2未必能提升至李群的映射G_1 \to G_2，但可提升至映射\tilde{G}_1 \to G_2，其中\tilde{G}_1是G_1的万有覆叠空间。
指数映射
对于任意矢量X \to \mathfrak{g}，根据常微分方程式的基本理论，存在G中的单参数子群c_X(t), 
c_X(0)=e使得c_X'(t) = c_X(t) \cdot X。由此得到的映射
\mathrm{exp}: \mathfrak{g} \to G
X \mapsto c_X(1)
称为指数映射。它总是解析映射。
若G为\mathrm{GL}(n)的子群，则\mathrm{exp}(X) = \sum_{i=0}^\infty \frac{X^i}{i!}，这是指数映射一词的缘由。
当G连通且非交换时，指数映射\mathfrak{g} \to G并非同态；局部上，\mathrm{exp}(X)\mathrm{exp}(Y)可以由Campbell-Baker-Hausdorff公式表成涉及括积的无穷级数。
一般域上的李群
在任意域、环乃至于概形上，都可以定义群概形；这是概形范畴中的群对象。群概形具有深刻的几何与数论意义，然而李群未必是代数簇。
另一方面，若域F对某个绝对值是完备域，其特征为零，则可照搬解析李群的定义以定义域 F上的李群、李代数与指数映射。较常见的例子是F=\mathbb{C}；至于数论方面，特别涉及自守表示的研究上，则须用到F为p进数域的情形。
两个解析映射，乘法运算G×G →G，和逆映射G →G满足群公理，从而具有群结构。
