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个人介绍
组合设计理论

主讲教师：

教师团队：共1位

  • 沈灏
学校： 上海交通大学
专业大类： 数学
开课专业： 应用数学 
本系列系统论述组合设计理论。一共90节课程，全面深入地介绍了区组设计、有限几何、差集与差族、Hadamard矩阵、正交拉丁方、和可分解设计等组合设计理论主要分支的基本概念、基础理论和重要方法。
教师团队

沈灏

职称：教授

单位：上海交通大学

部门：数学科学与技术研究所

职位：副所长

随机区组

随机区组设计使用区组方法减小误差变异，即用区组方法分离出由无关变量引起的变异，使他不出现在处理效应和误差变异中。

随机区组设计有以下优点：1、设计简单，容易掌握；2、富于伸缩性，单因素、多因素以及综合性的实验都可应用；3、能提供无偏的误差估计，并有效的减少单向的肥力差异，降低误差；4、对试验地的地形要求不严，必要时，不同区组亦可分散设置在不同地段上。不足之处在于这种设计不允许处理数太多，一般不超过20个。因为处理多，区组必然增大，局部控制的效率降低，而且只能控制一个方向的土壤差异。

随机区组在田间布置时，应考虑到试验精确度与工作便利等方面，以前者为主。设计的目的在于降低试验误差，宁使区组之间占有最大的土壤差异，而同区组内个小区间的变异应尽可能小。一般从小区形状而言，狭长型小区之间的土壤差异为最小，而方形或接近方形的区组之间按的土壤差异大。因此，在通常情况下，采用方形区组和狭长形小区能提高试验精确度。在有单向肥力梯度时，亦是如此，但必须注意是区组的划分与梯度垂直，而区组内小区 长的一边与梯度平行。这样既能提高试验精确度，同时亦能满足工作便利的要求。如处理数较多，为避免第一小区与最末小区距离过远，可将小区布置成两排。

如上所述，若试验地段的限制，使一个试验的所有区组不能排列在一块土地上时，可将少数区组设在另一地段，即各个区组可以分散设置，但一区组内的所有小区必须布置在一起。

有限几何

在数学中，有限几何是满足某些几何学公理，但仅含有限个点的几何系统。欧氏几何并非有限，因为它必包含一条欧氏直线，其上的点一一对应于实数。

有限平面几何可以分为仿射与射影两类。在仿射空间中可以探讨线的平行性，射影空间则否。

定义. 仿射平面是一个非空集 （其成员称为点）及一族  的子集 （其成员称为线），使之满足下述条件：

1、任两点包含于唯一的一条线。

2、平行公设：给定线  及点 ，存在唯一的线  使之包含  且  或 。

3、存在四个点，其中任三点不共线。

最后一条公设保证几何非空，前两条公设确定了几何的性质。

最简单的仿射平面由四点构成，其中任两点决定唯一一条线，所以此平面有四条线。这可以设想为四面体的顶点与边。

一般而言，阶仿射平面有  个点与  条线；每条线含  点，每点落于  条线。

定义. 射影平面是一个非空集 （其成员称为点）及一族  的子集 （其成员称为线），使之满足下述条件：

1、任两点包含于唯一的一条线。

2、任两条相异的线交于唯一一点。

3、存在四个点，其中任三点不共线。

在上述公理中，我们可以交换点及线的角色，这蕴含了射影几何的对偶性：若射影几何的某命题成立，则将命题中的点与线互换后，新命题依然成立。

最简单的射影平面称作 Fano 平面，又称二阶射影平面，由七条线及七个点构成。若除去任一直线（及其上之点），将得到二阶仿射平面。

一般而言， 阶射影平面的点、线个数均为 ，每条线含  个点，每个点落于  条线。

对任意正整数 ， 阶射影或仿射平面的存在性至今未解。一般的猜想是这种几何存在当且仅当  是素数幂。

正交拉丁方

两个n阶拉丁方在同一位置上的数依次配置成对时，如果这两个有序数对恰好各不相同（一般处理方法为把当中某些行或列对调）（这种相同即经过有限次旋转和镜像对称后不重合）。下面是两个互为正交的4阶拉丁方

(4.1)(3.3)(2.4)(1.2)

(2.2)(1.4)(4.3)(3.1)

(1.3)(2.1)(3.2)(4.4)

(3.4)(4.2)(1.1)(2.3)

已经证明，除2、6阶外，其他阶拉丁方都存在正交拉丁方。6阶的正交拉丁方源自于欧拉提出的三十六军官问题.

拉丁方与正交拉丁方组 1. 定义: (拉丁方)

A 为 n 乘 n 矩阵， 若 A 的每行，每列都恰好是 (1， 2， ...， n) 的一个置换，则称 A 是 n 阶拉丁方.

2. 定义: (正交拉丁方)

设 N={1，2，...，n}. 若 A=(a_{i，j}}， B=(b_{i，j}) 都是 n 阶拉丁方， 且满足:

{(a_{i，j}， b_{i，j}) : i=1..n， j=1..n} = N^2

则称 A， B 是正交拉丁方.

3. 定义: (正交拉丁方组)

{A_1， ...， A_k} 是 k 个 n 阶拉丁方， 若它们两两正交，则称它们是一个正交拉丁方组.

4. 定理: 若 A=(a_{i，j})， B 是正交 n 阶拉丁方. f 是 {1， 2， ...， n} 到自身的一个置换. 设 C={c_{i，j}} 使得:

c_{i，j}=f(a_{i，j})，

则 C， 仍是拉丁方，且 C， B 是正交拉丁方. 我们把 C 记为 f(A).

5. 设 S 是 n 阶正交拉丁方组， 则 |S|< n.

6. 定义: (饱和正交拉丁方组)

设 S 是 n 阶正交拉丁方组，若 |S|=n-1，则称 S 是饱和的.

7. 定理: 若 n 是素数方幂， 则存在饱和的 n 阶正交拉丁方组.

8. 定理: 设 {A_1，...， A_k} 是一个 n 阶正交拉丁方组，而 {B_1，...， B_k} 是一个 m 阶正交拉丁方组. 则在此基础上，可以构造出 mn 阶正交拉丁方组 {C_1，...， C_k}.

9. 设 n 有典范分解

p_1^{a_1} ... p_s^{a_s}，

而 r = min {p_j^{a_j} : j=1..s}， 则存在 r 个正交的 n 阶拉丁方。

参考教材


课程评价

课程章节
1
PBD设计的存在性与构作（三）
2
PBD设计的存在性与构作（四）
3
PBD设计的存在性与构作（五）
4
PBD设计的存在性与构作（六）
5
PBD设计的存在性与构作（七）
6
PBD设计的存在性与构作（八）
7
PBD设计的存在性与构作（九）
8
PBD设计的存在性与构作（十）
9
PBD设计的存在性与构作（十一）
10
PBD设计的存在性与构作（十二）
11
可分解设计（一）
12
组合设计理论 引论（一）
13
组合设计理论 引论（二）
14
组合设计理论 引论（三）
15
组合设计理论 引论（四）
16
组合设计理论 引论（五）
17
组合设计理论 引论（六）
18
组合设计理论 引论（七）
19
组合设计理论 引论（八）
20
对称设计理论基础（一）
21
对称设计理论基础（二）
22
对称设计理论基础（三）
23
对称设计理论基础（四）
24
对称设计理论基础（五）
25
对称设计理论基础（六）
26
有限几何（一）
27
有限几何（二）
28
有限几何（三）
29
有限几何（四）
30
有限几何（五）
31
有限几何（六）
32
有限几何（七）
33
有限几何（八）
34
有限几何（九）
35
有限几何（十）
36
有限几何（十一）
37
差集与差族（一）
38
差集与差族（二）
39
差集与差族（三）
40
差集与差族（四）
41
差集与差族（五）
42
差集与差族（六）
43
差集与差族（七）
44
差集与差族（八）
45
可分解设计（二）
46
可分解设计（三）
47
可分解设计（四）
48
可分解设计（五）
49
可分解设计（六）
50
可分解设计（七）
51
可分解设计（八）
52
可分解设计（九）
53
存在性猜想的证明（一）
54
存在性猜想的证明（二）
55
存在性猜想的证明（三）
56
存在性猜想的证明（四）
57
存在性猜想的证明（五）
58
存在性猜想的证明（六）
59
存在性猜想的证明（七）
60
设计的应用（一）
61
设计的应用（二）
62
设计的应用（三）
63
设计的应用（四）
64
设计的应用（五）
65
设计的应用（六）
66
设计的应用（七）
67
Hadamard矩阵（一）
68
Hadamard矩阵（二）
69
Hadamard矩阵（三）
70
Hadamard矩阵（四）
71
Hadamard矩阵（五）
72
Hadamard矩阵（六）
73
正交拉丁方（一）
74
正交拉丁方（二）
75
正交拉丁方（三）
76
正交拉丁方（四）
77
正交拉丁方（五）
78
正交拉丁方（六）
79
正交拉丁方（七）
80
正交拉丁方（八）
81
正交拉丁方（九）
82
正交拉丁方（十）
83
正交拉丁方（十一）
84
正交拉丁方（十二）
85
正交拉丁方（十三）
86
正交拉丁方（十四）
87
正交拉丁方（十五）
88
正交拉丁方（十六）
89
PBD设计的存在性与构作（一）
90
PBD设计的存在性与构作（二）
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