点集拓扑学
河北科技大学
主讲教师：赵素倩
拓扑学是研究拓扑空间自身结构及空间图形在连续形变下性质保持不变的学科，该课程是应用数学各专业本科生需要掌握的重要基础课程。拓扑学采用极为有力的表述形式和高度抽象的观点，方法，理论阐明空间的集合结构，从未掌握空间的函数关系，因为大量的自然现象都具有连续性，所以，拓扑学具有广泛联系各种实际事物的可能性，所以，它的理论和方法可以广泛地应用到现代数学及其工程技术的各个分支上，它不仅与微分几何，抽象代数，微分方程，泛函分析等联系密切，而且在自然科学和其它科学领域的许多学科诸如电路网络，理论物理，计算机，控制论等都具有广泛的应用。因此，学习该课程不仅使学生掌握拓扑学的基础理论及方法，而且为学生未来发展奠定良好的基础，并能增强学生的抽象思维、逻辑思维能力和分析问题解决问题的手段和方法。
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| 学校： | 河北科技大学 |
| 开课院系： | 理学院 |
| 开课专业： | 数学与应用数学 |
| 课程负责人： | 赵素倩 |
| 课程编号： | ZJ0052473 |
| 学分： | 3 |
| 课时： | 48 |
《拓扑学》课程教学大纲
课程名称（英文）：Topology
课程性质：学位课
学分：3
总学时：48 理论学时：48 实验（或上机）：0学时
先修课程：数学分析、实变函数与泛函分析
一、课程性质及目的
《拓扑学》是现代数学的一个重要分支，并已成为现代分析，微分几何，泛函分析，代数等研究领域不可缺少的工具和基础，其基本观念已渗透到其它自然科学以及经济学，金融学等学科中。学习《拓扑学》是为了让学生了解拓扑学的一些基本知识，提高学生抽象思维和逻辑推理能力，使学生在学习中增强分析问题和解决问题的能力。
依据河北科技大学数学与应用数学专业培养计划，本课程需要培养学生的能力是：具备数学与应用数学专业所必需的基本理论、基本知识和基本方法，具有严密的逻辑思维能力。
二、课程目标
知识：
1 能陈述集合论中的一些基本概念，主要有关系、等价关系、映射、集族及其运算、可数集、不可数集。
2 能复述拓扑、开集与闭集、邻域、闭包、内部、边界、子空间、基与子基这些概念以及它们所具有的性质；能陈述这些概念在度量空间的相应形式；能说明开集与闭集这对概念的对偶性。能陈述连续映射的性质；能陈述拓扑空间中极限的概念。
3 能陈述子空间、积空间与商空间的概念。
4 能复述连通空间、局部连通空间和道路连通空间的定义与性质，能说明这些概念和分析学中相应概念的区别和联系。
5 能陈述满足第一可数性公理和满足第二可数性公理的空间的概念以及其所具有的拓扑性质；能复述可分空间与Lindelöff空间的概念与性质。
6 能陈述各种分离公理以及其所具有的性质，能说明Hausdorff拓扑空间中序列极限的唯一性。
7 能复述紧致空间与紧致子集的概念与性质，能陈述紧性在加强分离性方面的作用；能复述与紧性有关的可数紧空间、序列紧空间、列紧空间的定义以及它们之间的相互关系。
能力：
8 培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。
9 能够运用所学知识分析和论证问题。
素养：
10具有良好的数学修养、严谨的科学态度和求真向实、理性思辨的科学精神。能够实事求是地分析问题，分析过程科学严谨，思维严密。
三、课程内容及学时分配
1 朴素集合论（4学时）
1.1 集合的基本概念
1.2 集合的基本运算
1.3 关系
1.4 等价关系
1.5 映射
1.6 有标集族及其并和交
1.7 可数集，不可数集，基数
[重点]：集合的基本概念、集合的基本运算、映射
[思政元素]：通过集合论融入数学发展史，在讲述第三次数学危机的产生和化解过程中引导学生们了解数学发展的坎坷和矛盾，并深入体会数学家们努力克服困难千辛万苦的学习和研究的过程，帮助学生建立对数学家的了解和敬重，引导学生们勇于思考和探索数学知识。
2 拓扑空间与连续映射（12学时）
2.1 度量空间与连续映射
2.2 拓扑空间与连续映射
2.3 邻域与邻域系
2.4 导集，闭集，闭包
2.5 内部，边界
2.6 基与子基
2.7拓扑空间中的序列
[重点]：拓扑空间与连续映射的概念、邻域与邻域系、导集，闭集、闭包
[难点]：基与子基的概念
[思政元素]：本章中一些概念在数学分析、实变函数、泛函分析中都出现过，而拓扑学中的概念是这些概念的推广和延伸，将这些概念加以对比进行讲解，学生更能直观深刻的理解，激发学生学习点集拓扑的兴趣。让学生懂得知识间的相互联系，知识体系的博大，进一步理解学无止境的内涵和良好的思想品德是由点滴的不断积累获得的。
3 子空间，积空间，商空间（4学时）
3.1 子空间
3.2 积空间（有限情形）
3.4 商空间
[重点]：子空间、积空间（有限情形）
[难点]：商空间
[思政元素]：子空间、积空间、商空间给出了构造新的拓扑空间的方法，培养学生创新追求的精神和能力。
4 连通性（8学时）
4.1 连通空间
4.2 连通性的某些简单应用
4.3 连通分支
4.4 局部连通空间
4.5 道路连通空间
[重点]：不连通空间的等价性概念、连通性的某些简单应用、连通分支、局部连通空间
[难点]：连通空间、局部连通空间和道路连通空间之间的关系
[思政元素]：通过对不连通空间几个等价概念的证明，培养学生的抽象思维能力，逻辑思维能力，严谨的科学精神。
5 有关可数性的公理（6学时）
5.1 第一与第二可数性公理
5.2 可分空间
5.3 Lindelöff空间
[重点]：满足第一与第二可数性公理的空间、可分空间
[难点]：可分空间与满足第一与第二可数性公理空间之间的关系
[思政元素]：可分空间与满足第一与第二可数性公理空间之间的关系教学，培养学生的全局观，集体观。
6 分离性公理（8学时）
6.1 T0空间，T1空间,Hausdorff空间
6.2 正则空间，正规空间，T3空间,T4空间
6.3 Urysohn 引理和Tietze扩张定理
6.4 完全正则空间，Tychonoff空间
6.5 分离性公理与子空间，积空间和商空间
[重点]：T0、T1、Hausdorff空间、正则、正规、T3、T4空间的概念和性质，Urysohn引理
[难点]：Urysohn引理
[思政元素]：通过介绍本章中出现以数学家命名的Urysohn 引理，讲述我国数学家吴文俊先生对拓扑学发展的贡献。由此激发同学们的文化自信和国家自豪感，增强爱国主义观念。
7 紧性（6学时）
7.1 紧空间
7.2 紧性与分离性公理
7.3 n维欧氏空间Rn中的紧子集
7.4 几种紧性以及其间的关系
[重点]：紧致空间、紧性与分离性的关系
[难点]：紧性与分离性公理的关系
[思政元素]：通过对紧性与分离性公理性，几种紧性以及其间的关系的证明，培养学生不畏艰难，刻苦求知的探索精神。
四、课程目标对毕业要求的支撑
毕业要求 | 课程目标 | 教学内容提要 | |
1.数学知识：具备扎实的数学与应用数学专业所必需的基本理论、基本知识和基本方法，具有严密的逻辑思维能力，能够将数学知识用于解决实际问题的能力。 | 1-1具备严密的逻辑思维能力 | 1 能陈述集合论中的一些基本概念，主要有关系、等价关系、映射、集族及其运算、可数集、不可数集。 2 能复述拓扑、开集与闭集、邻域、闭包、内部、边界、子空间、基与子基这些概念以及它们所具有的性质；能陈述这些概念在度量空间的相应形式；能说明开集与闭集这对概念的对偶性。能陈述连续映射的性质；能陈述拓扑空间中极限的概念。 3 能陈述子空间、积空间与商空间的概念。 4 能复述连通空间、局部连通空间和道路连通空间的定义与性质，能说明这些概念和分析学中相应概念的区别和联系。 5 能陈述满足第一可数性公理和满足第二可数性公理的空间的概念以及其所具有的拓扑性质；能复述可分空间与Lindelöff空间的概念与性质。 6 能陈述各种分离公理以及其所具有的性质，能说明Hausdorff拓扑空间中序列极限的唯一性。 7 能复述紧致空间与紧致子集的概念与性质，能陈述紧性在加强分离性方面的作用；能复述与紧性有关的可数紧空间、序列紧空间、列紧空间的定义以及它们之间的相互关系。 8 培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。 9 能够运用所学知识分析和论证问题。 10具有良好的数学修养、严谨的科学态度和求真向实、理性思辨的科学精神。能够实事求是地分析问题，分析过程科学严谨，思维严密。 | 第1章 朴素集合论 第2章 拓扑空间与连续映射 第3章 子空间，积空间，商空间 第4章 连通性 第5章 有关可数性的公理 第6章 分离性公理 第7章 紧性 |
五、达成课程目标的途径和措施
1 本课程以讲授为主，辅以课堂练习，讲授过程中板书与多媒体结合。
2 采用自建的在线课程进行混合式教学。
3 注重以项目驱动的教学展开，在讲解每个知识点时，注意提出问题，强化学生的问题意识，培养学生提出问题的能力。同时，引导启发学生向解决问题的方向主动积极思考。
4 增加课堂互动。课堂上随时注意学生的了解程度，并鼓励学生发散思维，尤其鼓励学生积极提问。通过课堂练习，做到重点内容随讲随练，让学生当场加深印象，扎实掌握每节课所学知识。
5 采用多种方法和手段巩固学生所学知识：
（1）课后作业：既可督促学生课后复习，又可以发现学习中存在的共性问题。
（2） 随堂每讲练习：每讲内容随讲随练，让学生加深印象，扎实掌握每节课所学知识。
六、考核方式与课程目标达成度评价
课程考核采用过程考核与结课考核相结合的方式。过程考核占20%（包括作业80%，章节测验20%），结课考核占80%。
考核方式 | 评价依据 | 对应课程目标指标点 |
过程考核 （100分） 20% | 课后作业 | 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 |
章节测验 | 1，2，3，4，5，6，7 | |
结课考试 （100分） 80% | 选择题 | 1，2，3，4，5，6，7 |
判断题 | 1，2，3，4，5，6，7 | |
简答题 | 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 | |
证明题 | 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 |
成绩评定细则
评价 方式 | 考核标准 | |||||
90-100 | 80-90 | 70-80 | 60-70 | 0-60 | ||
过程考核 | 作业 | 态度认真，作业按时按量完成，有解答过程，字迹工整，正确率高。 | 态度认真，作业按时按量完成，有解答过程，字体较工整，有个别错题。 | 作业质量一般，有遗漏题目或错题，没有解答过程。 | 晚交且质量一般或较差，或按时交但质量差；课堂表现一般。 | 考前补交或没交，且课堂表现消极。 |
章节 测验 | 章节测验标准答案 | |||||
结课考核 | 结课考试标准答案 | |||||
七、教材及参考文献
教 材
熊金城. 《点集拓扑讲义》,第五版.北京：高等教育出版社，2020.
参考文献
1. 李庆国. 《一般拓扑学》， 长沙：湖南大学出版社，2006.
2. 徐森林，胡自胜，金亚东，薛春华. 《点集拓扑学》，北京：高等教育出版社，2007.
大纲制定：赵素倩 大纲审定：吕仑
制定日期：2023年12月