定义: 小波是数学函数，它让我们将数据分成不同频率的分量，然后按与整体尺度相适应的分辨率分析每个分量。小波用于计算机成像、动画、降噪和数据压缩。

在很多研究领域，从科学研究与工程技术到经济学和心理学，我们需要分析数据，从而能发现基本的模式和信息。进行这种分析常用的方法就是利用数学函数做数据变换。

傅里叶分析是其中一个最著名的处理技术，通过将不同频率上的一系列正弦和余弦曲线迭加起来，你就能逼近真实世界中的数据流。在你的近似计算中曲线越多，就越能更精确地复制原始的数据。由于我们知道如何用它们定义完善的三角函数曲线，所以我们常常能推算出隐藏的数据模式。

但是傅里叶分析也有局限性。它最适合分析周期性重复的原始数据，对瞬态信号或者表现出突然变化的数据（如说的话），傅里叶分析就有困难。所以我们常常需要随实际数据改变我们的分析表示法，从而使我们能分辨出数据流中特定部分更多的细节。本质上，我们需要一种能在不同点上改变尺度的方法，而尺度就是小波的核心。

下面的解释节选于Dana Mackenzie所著、受到高度推崇的“小波: 既见森林又见树木”一书。

考虑一下我们是如何看风景的。如果你在夏天从飞机上向下看，森林就是铺天盖地的绿色。然而，若是你开车从旁边经过，你见到的是一棵棵的树木。如果你停下来，走得更靠近一些，你就能看清枝杈和树叶。再近些，你还要可以看见树叶上的露珠和昆虫。而用放大镜，你就能看清树叶和其脉络的构造细节。

当我们更靠近一个物体时，我们的视野就变窄了，看见越来越细微的细节。换言之，当我们的范围变得更小时，我们的分辨率就更高。我们的眼睛和思维能很快适应视野的变化，从宏观转到微观。可惜我们不能将此技术应用于照片或计算机化的数字图像。

如果你放大一张森林的照片（好像你在试图“走近”一棵树木），你所见到的是更模糊的图像;。你不能分辨出枝杈、树叶或露珠。不管你在电影里看到什么，任何“锐化”或处理都无助你看清细节，这些细节原本就没有编码进图像。我们见不到比像素更小的东西，照相机一次只能给我们提供一种分辨率。

小波算法允许我们以不同等级的细节（分辨率）和利用更大的压缩（比例尺），记录或处理一个场景的不同区域。本质上，它们让我们在更近的距离上拍摄新的照片。如果你从一个很宽的视野看数据的集合（也称信号），你将看到大尺寸的特性，在更小、更靠近的视野上，你能观察到更细小的特性。

与傅里叶分析中使用的无限重复的正弦波不同，小波常常是不规则的和非对称的，随着离中心点越来越远，其数值逐渐靠近零。通过把数据流分解成小波，常常就有可能保存甚至增强信号和信息有关时序的具体的局部特性。

小波几乎可以采用任何波形，在小波应用中正在做的大量工作是基于发现对处理的数据类型有效的相应的小波函数。

第一个小波函数是简单的方波，它是由数学家Alfred Harr在二十世纪初发现的。然而，该领域真正的发展始于上世纪八十年代中期，当时在一家法国石油公司工作的工程师Jean Morlet开发了小波变换分析来解释地震数据。然后他与物理学家Alex Grossmann合作，建立了正式的数学模型。

小波的发展已经远远超出了当初的地球物理学基础，今天小波被用于各种不同的目的，特别是在数字成像和压缩领域。

例如，根据你的需求，依据你愿意放弃多少细节或精度，你可以使用不同类型的压缩，来降低数字图像的大小。基于小波的压缩比其他类型有高得多的效率。小波还能实现想象不到的细微细节和纹理绘图，如动画电影Monster, Inc.中有真实感的头发绘制，同时仍能使文件的大小和处理的时间在能接受的范围内。

小波也是很多与图像有关的压缩标准的核心，如彩色图像的JPEG-2000标准和WSQ（小波标量量化灰度指纹图像压缩算法），自1993年以来美国联邦调查局就开始将该算法用于储存指纹数据库。

MPEG-4数字视频标准中的小波压缩提供了比JPEG质量更好的基于Web的视频，但它产生的文件只有（JPEG）文件的几分之一。MPEG-4还有几种质量级别，允许服务器根据所需带宽动态调整输出。

小波也用于降噪和图像搜索技术。科学家正在探讨利用小波进行不同类型的医疗诊断以及气象预报。

小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。与Fourier变换相比，小波变换是时间（空间）频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号（函数）逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。有人把小波变换称为“数学显微镜”。

产生历史

小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了 反演 公式，当时未能得到数学家的认可。正如1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier提出任一 函数 都能展开成 三角函数 的 无穷级数 的创新概念未能得到著名数学家J.L.Lagrange，P.S.Laplace以及A.M.Legendre的认可一样。幸运的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的发现、Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似于现在的小波基；1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的同意方法枣多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中 比利时 女数学家I.Daubechies撰写的《 小波十讲 （Ten Lectures on Wavelets）》对小波的普及起了重要的推动作用。它与Fourier变换、窗口Fourier变换（Gabor变换）相比，这是一个时间和频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。

分析方法

小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起地。现在，它已经在科技信息产业领域取得了令人瞩目的成就。电子信息技术是六大高新技术中重要的一个领域，它的重要方面是图像和信号处理。现今，信号处理已经成为当代科学技术工作的重要部分，信号处理的目的就是：准确的分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确地重构（或恢复）。从数学地角度来看，信号与 图像处理 可以统一看作是信号处理（图像可以看作是二维信号），在小波分析地许多分析的许多应用中，都可以归结为信号处理问题。现在，对于其性质随时间是稳定不变的信号，处理的理想工具仍然是 傅立叶分析 。但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而特别适用于非稳定信号的工具就是小波分析。

发展现状

小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域，它同时具有理论深刻和应用十分广泛的双重意义。

小波分析是当前应用数学和工程学科中一个迅速发展的新领域，经过近10年的探索研究，重要的数学形式化体系已经建立，理论基础更加扎实。与Fourier变换相比，小波变换是空间(时间)和频率的局部变换，因而能有效地从信号中提取信息。通过伸缩和平移等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细化分析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。小波变换联系了应用数学、物理学、计算机科学、信号与信息处理、图像处理、地震勘探等多个学科。数学家认为，小波分析是一个新的数学分支，它是 泛函分析、Fourier分析、样调分析、数值分析 的完美结晶；信号和信息处理专家认为，小波分析是时间—尺度分析和 多分辨分析 的一种新技术，它在信号分析、语音合成、图像识别、计算机视觉、数据压缩、地震勘探、大气与海洋波分析等方面的研究都取得了有科学意义和应用价值的成果。

应用领域

事实上小波分析的应用领域十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号分析、图像处理； 量子力学 、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化； 计算机 分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面；例如，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、 控制论 等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。在图像处理方面的图像压缩、分类、识别与诊断，去污等。在医学成像方面的减少B超、CT、 核磁共振成像 的时间，提高分辨率等。 
　　(1)小波分析用于信号与图像压缩是小波分析应用的一个重要方面。它的特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持信号与图像的特征不变，且在传递中可以抗干扰。基于小波分析的压缩方法很多，比较成功的有小波包最好基方法，小波域纹理 模型方法 ，小波变换零树压缩，小波变换向量压缩等。 
　　(2)小波在信号分析中的应用也十分广泛。它可以用于边界的处理与滤波、时频分析、信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘检测等。 
　　(3)在工程技术等方面的应用。包括计算机视觉、 计算机图形学 、曲线设计、湍流、远程宇宙的研究与 生物医学方面。