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【概率论的起源】


概率论是一门研究事情发生的可能性的学问, 但是最初概率论的起源与赌博问题有关。有这样的一个故事,德.梅勒是一位军人、语言学家、古典学者,同时也是一个有能力、有经验的赌徒,他经常玩骰子和纸牌。虽然他不是一个全职的数学家,但他经常从数学的角度提出和思考赌博中出现的一些有深度的问题,“点问题” 就是其中之一。一次,德.梅勒和他的一个朋友每人出30个金币,两人各自选取一个点数,谁选择的点数首先被掷出3次,谁就赢得全部的赌注。在游戏进行了一会儿后,德.梅勒选择的点数“5”出现了2次,而他的朋友选择的点数“3”只出现了一次。这时候,德.梅勒由于国王召见必须离开,游戏不得不停止。他们该如何分配赌桌上的60个金币的赌注呢?


德.梅勒的朋友认为,既然掷出他选择的点数的机会是德.梅勒的一半,那么他该拿到德.梅勒所得的一半,即他拿20个金币,德.梅勒拿40个金币。然而,德.梅勒争执到:再掷一次骰子,对他来说最糟糕的事是他将失去他的优势,游戏是平局,每人都得到相等的30个金币;但如果掷出的是“5”,他就赢了,并可拿走全部的60个金币。在下一次掷骰子之前,他实际上已经拥有了30个金币,他还有50%的机会赢得另外30个金币,所以,他应分得45个金币。

他们对这一问题的看法和计算方法不一致,为此而争论不休。后来德.梅勒把这个问题告诉了帕斯卡,帕斯卡对此也很感兴趣,但也难住了帕斯卡。帕斯卡又写信告诉了费马。于是在这两位伟大的法国数学家之间开始了具有划时代意义的通信。总共用了三年的时间,解决了这一问题,在概率论的历史上,一般的传统观点则把这一事件看作为数学概率论的起始标志。

思考一下:

德.梅勒和朋友这次作为概率起源的赌博,到底谁是对的?为什么?


概率论的发展

16世纪,意大利的学者吉罗拉莫·卡尔达诺(GirolamoCardano)开始研究掷骰子等赌博中的一些简单的问题。

1654,法国数学家帕斯卡(Pascal)和费马(Fermat)基于排列组合方法,研究了一些较复杂的赌博问题,他们解决了分赌注问题、赌徒输光问题。这个研究源于前一年的夏天,帕斯卡度假时遇上的一个老赌徒和他的谈话。而两位数学家的这个研究被公认为“概率论”这一数学分支的奠基石。

1657,荷兰数学家惠更斯(C.Huygens)参与了帕斯卡与费马的讨论,并于1657年出版了《论赌博中的计算》一书.书中给出了第一批概率论概念和定理(如:加法定理、乘法定理、古典概型、数学期望)。                

1713年,雅各·伯努利(Jacob Bernoulli)遗著《猜度术》出版。该书一个重要贡献是从主观的“期望”转化为客观的“频率”,以及后来以“伯努利大数定律”著称的极限定理。

1733年,棣莫弗(A.DeMoivre)于1733年和高斯(Gauss)于1809年各自独 立引进了正态分布。

1777,蒲丰(G.L.L Buffon)提出了投针问题的几何概率。

1812年,拉普拉斯(P.S.Laplace)的《概率的分析理论》以强有力的分析工具处理概率论的基本内容,使以往零散的结果系统化。正是在这部著作中,拉普拉斯给出了概率的古典定义。

1866年,俄国数学家切比雪夫(п.л.чеБыщев)建立了关于独立随机变量序列的大数定律,使伯努利定理和泊松大数定理成为其特例.切比雪夫还将棣莫弗--拉普拉斯极限定理推广为更一般的中心极限定理.切比雪夫的成果后又被他的学生马尔可夫(А.А.марков)发扬光大,推进了20世纪概率论发展的进程。                

【概率论的应用】

虽然概率论最早产生于17世纪,然而其公理体系只在20世纪的20至30年代才建立起来并得到迅速发展,在过去的半个世纪里概率论在越来越多的新兴领域显示了它的应用性和实用性,例如:物理、化学、生物、医学、心理学、社会学、政治学、教育学,经济学以及几乎所有的工程学等领域。特别值得一提的是,概率论是今天数理统计的基础,其结果被用做问卷调查的分析资料或者对经济前景进行预测。



【 随机实验】


随机实验是一个概率论的基本概念。 概况的讲,在概率论中把符合下面三个特点的试验叫做随机试验:

  1. 可以在相同的条件下重复的进行。

  2. 每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果。

  3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。

    例如:

  • E1:抛一枚硬币,观察正面和反面出现的情况。

  • E2:抛两颗骰子,观察出现的点数情况。

  • E3:观察某地某天的最高气温。


思考一下:我们身边有哪些常见的事情属于随机试验?


【样本空间】


我们将随机实验E的一切可能基本结果(或实验过程如取法或分配法)组成的集合称为E的样本空间,记为S。样本空间的元素,即E的每一个可能的结果,称为样本点。样本空间又叫基本事件空间。

例如:设随机试验E为“抛一颗骰子,观察出现的点数”。那么E的样本空间 S:{1,2,3,4,5,6,}。

思考一下:考试成绩(百分制)的样本空间是?


【事件间的关系与事件运算】


(1) 包含:若事件A发生,一定导致事件B发生,那么称事件B包含事件A,记作A∈B

(2) 相等:若两事件A与B相互包含,即,那么,称事件A与B相等,记作A=B。

(3) 和事件:“事件A与事件B中至少有一个发生”这一事件称为A与B的和事件,记作A∪B;“n个事件中至少有一事件发生”这一事件称为的和,记作(简记为).

(4) 积事件:“事件A与事件B同时发生”这一事件称为A与B的积事件,记作A∩B(简记为AB);“n个事件同时发生”这一事件称为的积事件,记作(简记为).

(5) 互不相容:若事件A和B不能同时发生,即AB=Φ,那么称事件A与B互不相容(或互斥),若n个事件中 任意两个事件不能同时发生,即(1≤i<j≤n),那么,称事件 互不相容.

(6) 对立事件:若事件A和B互不相容、且它们中必有一事件发生,即AB=Ω,那么,称A与B是对立的.事件A的对立事件(或逆事件)记作

(7) 差事件:若事件A发生且事件B不发生,00那么,称这个事件为事件A与B的差事件,记作A-B(或) .

(8) 交换律:对任意两个事件A和B有000

0A∪B=B∪A,AB=BA0.

(9) 结合律:对任意事件A,B,C有

A∪(B∪C)=(A∪B)∪C, A∩(B∩C)=(A∩B)∩C. 

(10) 分配律:对任意事件A,B,C有

A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C),A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C).