个人介绍
高等数学(上) 李换琴
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相对于初等数学而言,数学的对象及方法是较为复杂的一部分。高等数学是由微积分学、较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科,课程主要内容包括:极限、微积分、空间解析几何与向量代数、级数、常微分方程等。
主讲人

李换琴 教授

单位:西安交通大学

函数

函数(function清末根据日语翻译+英语读音译为“方程”),名称出自数学家李善兰的著作《代数学》。之所以如此翻译,他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者,则此为彼之函数”,也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化,或者说一个量中包含另一个量。

函数的定义通常分为传统定义和近代定义,函数的两个定义本质是相同的,只是叙述概念的出发点不同,传统定义是从运动变化的观点出发,而近代定义是从集合、映射的观点出发。

传统定义

一般的,在一个变化过程中,假设有两个变量x、y,如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y和它对应,那么就称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量,x的取值范围叫做这个函数的定义域,相应y的取值范围叫做函数的值域。

近代定义

设A,B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数  和它对应,那么就称  为从集合A到集合B的一个函数,记作或。

其中x叫作自变量,  叫因变量,集合叫做函数的定义域,与x对应的y叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域。

定义域,值域,对应法则称为函数的三要素。一般书写为。若省略定义域,一般是指使函数有意义的集合。

一元函数与多元函数

人们常常说的函数y=f(x),是因变量与一个自变量之间的关系,即因变量的值只依赖于一个自变量,称为一元函数。

但在许多实际问题中往往需要研究因变量与几个自变量之间的关系,即因变量的值依赖于几个自变量。

例如,某种商品的市场需求量不仅仅与其市场价格有关,而且与消费者的收入以及这种商品的其它代用品的价格等因素有关,即决定该商品需求量的因素不止一个而是多个。要全面研究这类问题,就需要引入多元函数的概念。

无穷级数

用解析的形式来逼近函数,一般就是利用比较简单的函数形式,逼近比较复杂的函数,最为简单的逼近途径就是通过加法,即通过加法运算来决定逼近的程度,或者说控制逼近的过程,这就是无穷级数的思想出发点。

无穷级数是研究有次序的可数无穷个函数的和的收敛性及其极限值的方法,理论以数项级数为基础,数项级数有发散性和收敛性的区别。无穷级数收敛时有一个唯一的和;发散的无穷级数没有极限值,但有其他的求和方法,如欧拉和、切萨罗和、博雷尔和等等。可用无穷级数方法求和的包括:数项级数、函数项级数,又包括幂级数、傅氏级数;复变函数中的泰勒级数、洛朗级数。

参考资料


参考书籍












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