个人介绍
高等代数 丘维声
提供学校: 北京大学
院系: 数学系
专业大类: 数学
专业: 基础数学

高等代数其实是代数学基础,在数学系课程中相对比较简单。因为其高度形式化和抽象化,初学者往往不适应。就内容而言,高等代数除了多项式的基础外主要是线性代数,包括行列式、线性方程组、矩阵和线性空间。作为数学分支的代数具有与初等数学中代数不同的特点。初等代数主要就是计算,方程的求根或式子的化简。在本科数学专业教学计划上,从高等代数开始,经过抽象代数,最后到群和环等专业选修课,代数学演变成对带有运算的结构进行刻画、分类等研究的学科。这种形式化,在一定程度上体现了现代数学高度抽象化的特点。

教师团队

丘维声 教授、博导

单位:北京大学

部门:数学系

职位:教授、博导

代数简介

代数学从高等代数总的问题出发,又发展成为包括许多独立分支的一个大的数学科目,比如:多项式代数、线性代数等。代数学研究的对象,也已不仅是数,还有矩阵、向量、向量空间的变换等,对于这些对象,都可以进行运算。虽然也叫做加法或乘法,但是关于数的基本运算定律,有时不再保持有效。因此代数学的内容可以概括为研究带有运算的一些集合,在数学中把这样的一些集合叫做代数系统。比如群、环、域等。

多项式是一类最常见、最简单的函数,它的应用非常广泛。多项式理论是以代数方程的根的计算和分布作为中心问题的,也叫做方程论。研究多项式理论,主要在于探讨代数方程的性质,从而寻找简易的解方程的方法。

多项式代数所研究的内容,包括整除性理论、最大公因式、重因式等。这些大体上和中学代数里的内容相同。多项式的整除性质对于解代数方程是很有用的。解代数方程无非就是求对应多项式的零点,零点不存在的时候,所对应的代数方程就没有解。

我们知道一次方程叫做线性方程,讨论线性方程的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。

行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的,他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作,标题的意思是“解行列式问题的方法”,书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家莱布尼茨。德国数学家雅可比于1841年总结并提出了行列式的系统理论。

行列式有一定的计算规则,利用行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式,因此行列式是解线性方程组的工具。行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式,也就是说行列式代表着一个数。

因为行列式要求行数等于列数,排成的表总是正方形的,通过对它的研究又发现了矩阵的理论。矩阵也是由数排成行和列的数表,可以行数和列数相等也可以不等。

矩阵和行列式是两个完全不同的概念,行列式代表着一个数,而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法。利用矩阵这个工具,可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量;这样对于一个多元线性方程组的解的情况,以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题,就都可以得到彻底的解决。矩阵的应用是多方面的,不仅在数学领域里,而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。

把上面分析过的内容综合起来,组成初等代数的基本内容就是:

三种数——有理数、无理数、复数

三种式——整式、分式、根式

中心内容是方程——整式方程、分式方程、根式方程和方程组。

初等代数的内容大体上相当于现代中学设置的代数课程的内容,但又不完全相同。比如,严格的说,数的概念、排列和组合应归入算术的内容;函数是分析数学的内容;不等式的解法有点像解方程的方法,但不等式作为一种估算数值的方法,本质上是属于分析数学的范围;坐标法是研究解析几何的……。这些都只是历史上形成的一种编排方法。

初等代数是算术的继续和推广,初等代数研究的对象是代数式的运算和方程的求解。代数运算的特点是只进行有限次的运算。全部初等代数总起来有十条规则。这是学习初等代数需要理解并掌握的要点。

高等代数——向量

定义

数学中,既有大小又有方向且遵循平行四边形法则的量叫做向量(vector)。有方向与大小,分为自由向量与固定向量。

自由向量只确定于方向与大小,而不在意位置,例如平行四边形ABCD中,向量AB=向量DC,就是指的自由向量。几何中的向量,多为自由向量。

固定向量确定于方向与大小,以及起点位置。例如力学中的作用力就是固定向量。

数学中,把只有大小但没有方向的量叫做数量,物理中常称为标量。例如距离、质量、密度、温度等。

注:在线性代数中(实数空间/复数空间)的向量是指n个实数/复数组成的有序数组,称为n维向量。α=(a1,a2,…,an) 称为n维向量。其中ai称为向量α的第i个分量。

("a1"的"1"为a的下标,"ai"的"i"为a的下标,其他类推)。

在编程语言中,也存在向量。

发展历史

向量,最初被应用于物理学。很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量。大约公元前350年前,古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量,两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到。“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段。最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿。

从数学发展史来看,历史上很长一段时间,空间的向量结构并未被数学家们所认识,直到19世纪末20世纪初,人们才把空间的性质与向量运算联系起来,使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系。

向量能够进入数学并得到发展,首先应从复数的几何表示谈起。18世纪末期,挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a+bi(a,b为有理数,且不同时等于0),并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算。把坐标平面上的点用向量表示出来,并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题。人们逐步接受了复数,也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量,向量就这样平静地进入了数学中。

但复数的利用是受限制的,因为它仅能用于表示平面,若有不在同一平面上的力作用于同一物体,则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系.19世纪中期,英国数学家哈密尔顿发明了四元数(包括数量部分和向量部分),以代表空间的向量.他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础.随后,电磁理论的发现者,英国的数学物理学家麦克斯韦把四元数的数量部分和向量部分分开处理,从而创造了大量的向量分析。

三维向量分析的开创,以及同四元数的正式分裂,是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪80年代各自独立完成的。他们提出,一个向量不过是四元数的向量部分,但不独立于任何四元数。他们引进了两种类型的乘法,即数量积和向量积。并把向量代数推广到变向量的向量微积分。从此,向量的方法被引进到分析和解析几何中来,并逐步完善,成为了一套优良的数学工具。

表达方式

1.代数表示:一般印刷用黑体小写字母α、β、γ…或a、b、c… 等来表示,手写用在a、b、c…等字母上加一箭头表示。

2.几何表示:向量可以用有向线段来表示。有向线段的长度表示向量的大小,向量的大小,也就是向量的长度。长度为0的向量叫做零向量,记作0.长度等于1个单位的向量,叫做单位向量。箭头所指的方向表示向量的方向。(若规定线段AB的端点A为起点,B为终点,则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度。这种具有方向和长度的线段叫做有向线段。)

3.坐标表示:

1) 在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为一组基底。a为平面直角坐标系内的任意向量,以坐标原点O为起点作向量OP=a。由平面向量基本定理知,有且只有一对实数(x,y),使得a=向量OP=xi+yj,因此把实数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y)。这就是向量a的坐标表示。其中(x,y)就是点P的坐标。向量OP称为点P的位置向量。

2) 在立体三维坐标系中,分别取与x轴、y轴,z轴方向相同的3个单位向量i,j,k作为一组基底。若a为该坐标系内的任意向量,以坐标原点O为起点作向量OP=a。由空间基本定理知,有且只有一组实数(x,y, z),使得a=向量OP=xi+yj+zk,因此把实数对(x,y, z)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y, z)。这就是向量a的坐标表示。其中(x,y, z),也就是点P的坐标。向量OP称为点P的位置向量。

3) 当然,对于多维的空间向量,可以通过类推得到,此略。

学习高等代数的需注意的几点

第一,适应研究对象的抽象和扩展。高等代数开篇,就会引入数域的概念,作为数系概念的抽象。数域概念的特点是突出了数的两种运算的特性。随着学习的深入,会相继出现过去没有接触过的新研究对象,如映射、高维向量、矩阵、线性空间、变换等。这些新的研究对象分别由各自的运算规律而界定。这样将个别的演算抽象出共同的规律,并因此实现理论应用的广泛性。因此,对新的研究对象要特别注意所定义的相应运算。 

第二,深入理解等价和化简的概念。等价是相同和相等关系的抽象和推广,用自反、对称和传递3个性质刻画。高等代数中有大量的等价关系,如线性方程组的同解、矩阵的等价、矩阵的合同、矩阵的相似、线性空间的同构等。每种等价的结构,可用种最简单的形式代表,这样就有了各种标准形。构造标准形的过程就是在保持等价的前提下化简。各种等价类的标准形式的数量特征也很重要,如秩、维数、惯性指数等。       

第三,注意不同结构的联系。特别是矩阵是高等代数的核心内容。矩阵可以表示线性方程组,矩阵可以表示给定基下的线性变换,对称矩阵对应着二次型。 

      

第四,熟悉化繁为简的常用技巧。在许多证明中,善于把问题转化为实质相同但更简单的形式。这类过程常用“不失一般性”开头。可以把向量组或矩阵的行或列重新排列,也可以选择线性空间的特定组基,或者直接写成矩阵的某种标准形式。在计算行列式等题目中,善于递推、类比等。求和号的应用也能突出问题的本质而略去重复繁复的枝节。

参考教材


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