个人介绍
有限群表示论 朱富海
提供学校: 南开大学
院系: 数学学院
专业大类: 数学
专业: 应用数学

有限群,具有有限多个元素的群。群论的重要内容之一。其所含元素的个数,称为有限群的阶。有限群论是群论的基础部分,也是群论中应用最为广泛的一个分支。历史上,抽象群论的许多概念起源于有限群论。本系列介绍了有限群表示论,通过版书的形式,讲述了起源与基本概念。

教师简介

朱富海 副教授

单位:南开大学

部门:数学学院

朱富海

朱富海 男,南开大学数学学院副教授,从事数学试点班“高等代数与解析几何”课程教学工作多年,因其教学方式灵活多变,思维发散,深受历届学生“喜爱”。主要研究方向为李群和李代数,曾发表论文《测地子流形的极大秩子流形定理》。

有限群

具有有限多个元素的群。群论的重要内容之一。其所含元素的个数,称为有限群的阶。有限群可分为两大类:可解群与非可解群(特别包括非交换单群)(见群、有限单群)。

有限群论是群论的基础部分,也是群论中应用最为广泛的一个分支。历史上,抽象群论的许多概念起源于有限群论。近年来,随着有限群理论的迅速发展,其应用的日益增多,有限群论已经成为现代科技的数学基础之一,是一般科技工作者乐于掌握的一个数学工具。有限群论无论是从理论本身还是从实际应用来说,都占有突出地位,它中的置换群、可解和非可解群、幂零群、以及群表示论等等,都是重要的研究对象,总之,其内容十分丰富而且庞大。

有限群的研究起源很早,其形成时期是与柯西、拉格朗日、高斯、阿贝尔以及后来的伽罗瓦、若尔当等人的名字相联系的。1829年伽罗瓦(Galois)引入了置换群的概念,并成功地解决了一个方程可用根式求解的充要条件。置换群是群论历史上最先知道的一种具体的群。拉格朗日和高斯在研究数论中的二次型类是出现过交换群的概念;Cayley(凯莱)曾经在1849年提出过抽象群,但这个概念的价值当时没有被认识到,远远超越时代的Dedekind(戴德金)在1858年给有限群下了一个抽象的定义,这个群是从置换群中引导出来的,他又在1877年提出了一个抽象的有限交换群。Kronecker(克罗内克)也给出了一个相当于阿贝尔群的定义,他规定了抽象的元素,运算,封闭性,结合性,交换性。以每个元素的逆运算的存在和唯一。他还证明了一些有关群的定理。1878年又是凯莱提出了一个群可以看作一个普遍的概念。毋需只限于置换群,这样认识到抽象群比置换群包含更多的东西。德国数学家霍尔德在l889年以后的若干年内,详细地研究了单群和可解群,证明:一个素数阶循环群是单群,n个(n>=5)文字的全部偶置换组成的交换群是单群。他还发现了许多其他有艰的单群。赫尔德和若尔当还建立了在有限群中的若尔当一霍尔德合成群列和若尔当一霍尔德定理。在19世纪末,德国数学家弗罗贝尼乌斯、迪克和英国数学家伯恩塞德等都致力于可解群的研究。20世纪初伯恩塞德证明的关于 (p,q是素数)必是可解群的定理,导致了对有限单群进行分类的重要研究。美国数学家汤普森和菲特在20世纪60年代初证明了有限群中长期悬而未决的一个猜想(伯恩塞德猜想);奇数阶群一定是可解群。它推动了有限群理论的发展。有限单群的完全分类,即找出有限单群所有的同构类,经过上百名数学家约百年的共同努马中骐.群论习题精解1981年得到解决,这是数学史上的一个非凡成就。

设G是一个群, 如果G是有限集合,那么就称为有限群。

假若群G是一个有限群,则成G的元的个数位G的阶,记为 |G|。

有限群的分类是个重要的数学问题。这个问题经过许多数学家的努力中有了完美的答案(相关概念如“魔群”)。

比如素数阶的有限群都是循环群。

15阶及以下群的分类

Z表示循环群,S表示置换群,A表示交错群,D表示二面群,×表示直积。

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