线性空间

简单的说，线性空间是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实数也可以是复数，也可以是任意给定域中的元素）相乘后得到此集合内的另一元素。 

设V是一个非空集合，F是一个数 域，在集合V的元素之间定义一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V中任意两个元素x和y，在V中都有唯一的一个元素z与他们对应，称为x与y的和，记为z=x+y．在数域F与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于数域F中任一数k与V中任一元素x，在V中都有唯一的一个元素y与他们对应，称为k与x的数量乘积，记为y=kx。如果加法与乘法还满足下述规则，那么V称为数域F上的线性空间． 

1. V对加法成Abel群，即满足： 

　　（1）（交换律）x+y=y+x； 

　　（2）（结合律）（x+y）+z=x+（y+z） 

　　（3）（零元素）在V中有一元素0，对于V中任一元素x都有x+0=x； 

　　（4）（负元素）对于V中每一个元素x，都有V中的元素y，使得x+y=0； 

2. 数量乘法满足： 

　　（5）1x=x； 

　　（6）k(lx)=(kl)x； 

3. 数量乘法和加法满足： 

　　（7）（k+l）x=kx+lx； 

　　（8）k（x+y）=kx+ky． 

其中x，y，z为V中任意元素，k，l为数域F中的任意元素，1是F的乘法单位元。 

数域F称为线性空间V的系数域或基域，F中元素称为纯量或数量（scalar），V中元素称为向量         （vector）。 

当系数域F为实数域时，V称为实线性空间。当F为复数域时，V称为复线性空间。

线性算子

线性算子即线性变换。

线性变换（linear transformation），高等数学名词。向量空间V到其自身的映射称为V的变换，V到V的线性映射称为V的线性变换。简言之，线性映射就是保持线性关系的映射。

线性空间V到自身的映射通常称为V上的一个变换。

线性变换参考图

同时具有以下定义：

线性空间V上的一个变换A称为线性变换，如果对于V中任意的元素α，β和数域P中任意k，都有

A(α+β)=A（α）+A（β）

A (kα)=kA(α)

线性代数研究的一个对象，即向量空间到自身的保运算的映射。例如，对任意线性空间V，位似是V上的线性变换，平移则不是V上的线性变换。对线性变换的讨论可借助矩阵实现。σ关于不同基的矩阵是相似的。Kerσ={a∈V|σ（a）=θ}（式中θ指零向量）称为σ的核，Imσ={σ（a）|a∈V}称为σ的象，是刻画σ的两个重要概念。

对于欧几里得空间，若σ关于标准正交基的矩阵是正交（对称）矩阵，则称σ为正交（对称）变换。正交变换具有保内积、保长、保角等性质，对称变换具有性质：〈σ(a)，β〉=〈a，σ（β）〉。

在数学中，线性映射（也叫做线性变换或线性算子）是在两个向量空间之间的函数，它保持向量加法和标量乘法的运算。术语“线性变换”特别常用，尤其是对从向量空间到自身的线性映射(自同态)。

在抽象代数中，线性映射是向量空间的同态，或在给定的域上的向量空间所构成的范畴中的态射。