个人介绍
有限元法 李树森
专业大类: 力学
专业: 工程力学

从有限元的基本方法派生出来的方法很多,则称为三维单元。如有限条法、边界元法、杂交元法、非协调元法和拟协调元法等,用以解决特殊的问题。本系列主讲有限元法绪论、弹性力学基础及平面问题。

教师团队

李树森 教授

单位:东北林业大学

部门:机电工程学院

职位:教授

有限元法的起源

有限元法最初起源于土木工程和航空工程中的弹性和结构分析问题的研究。 它的发展可以追溯到Alexander Hrennikoff(1941)和Richard Courant(1942)的工作. 这些先驱者使用的方法具有很大的差异, 但是他们具有共同的本质特征: 利用网格离散化将一个连续区域转化为一族离散的子区域, 通常叫做元.Hrennikoff 的工作离散用类似于格子的网格离散区域; Courant 的方法将区域分解为有限个三角形的子区域, 用于求解来源于圆柱体转矩问题的二阶椭圆偏微分方程. Courant 的贡献推动了有限元的发展, 绘制了早期偏微分方程的研究结果。

有限元方法的发展开始于五十年代中后期使用在机身框架和结构分析上,并于六十年代通过斯图加特大学的en:John Argyris和柏克莱加州大学的en:Ray W. Clough在土木工程中的应用工作中积累经验。

1965年,冯康将其成果发表成论文。

有限元元法

有限元法(FEA,Finite Element Analysis)的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成,对每一单元假定一个合适的(较简单的)近似解,然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件),从而得到问题的解。这个解不是准确解,而是近似解,因为实际问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解,而有限元不仅计算精度高,而且能适应各种复杂形状,因而成为行之有效的工程分析手段。

有限元是那些集合在一起能够表示实际连续域的离散单元。有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用,例如用多边形(有限个直线单元)逼近圆来求得圆的周长,但作为一种方法而被提出,则是最近的事。有限元法最初被称为矩阵近似方法,应用于航空器的结构强度计算,并由于其方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣。经过短短数十年的努力,随着计算机技术的快速发展和普及,有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域,成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法。

有限元单元法的基本思路

弹性力学解法的问题弹性力学解法的问题在于:不论是应力函数解法数解法、扭转函数解 法、挠曲函数解法、还是基于最小势能原还是基于最小势能原理的瑞利-李兹等方法,其困难在于如何给出一个在全求解区给出一个在全求解区域上均成立的试探函数。

有限元法的应用

有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的,所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中(这类场与泛函的极值问题有着紧密的联系)。自从1969年以来,某些学者在流体力学中应用加权余数法中的迦辽金法(Galerkin)或最小二乘法等同样获得了有限元方程,因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理场中,而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系。基本思想:由解给定的泊松方程化为求解泛函的极值问题。

参考教材


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