个人介绍
解析几何 黄宣国
专业大类: 数学
专业: 应用数学

本系列介绍了曲线与二次曲面,二次曲面的分类,非曲纹面的二次曲线,等距变换与仿射变换等内容,还讲了空间仿射变换,非欧几何, 射影平面几何,第四条调和点定理,正弦定理和余弦定理。17世纪以来,由于航海、天文、力学、经济、军事、生产的发展,以及初等几何和初等代数的迅速发展,促进了解析几何的建立,并被广泛应用于数学的各个分支。在解析几何创立以前,几何与代数是彼此独立的两个分支。解析几何的建立第一次真正实现了几何方法与代数方法的结合,使形与数统一起来,这是数学发展史上的一次重大突破。作为变量数学发展的第一个决定性步骤,解析几何的建立对于微积分的诞生有着不可估量的作用。

教师团队

黄宣国 教授、博导

单位:复旦大学

部门:数学科学学院基础数学专业

职位:教授

解析几何概述

解析几何包括平面解析几何和立体解析几何两部分。平面解析几何通过平面直角坐标系,建立点与实数对之间的一一对应关系,以及曲线与方程之间的一一对应关系,运用代数方法研究几何问题,或用几何方法研究代数问题。17世纪以来,由于航海、天文、力学、经济、军事、生产的发展,以及初等几何和初等代数的迅速发展,促进了解析几何的建立,并被广泛应用于数学的各个分支。在解析几何创立以前,几何与代数是彼此独立的两个分支。解析几何的建立第一次真正实现了几何方法与代数方法的结合,使形与数统一起来,这是数学发展史上的一次重大突破。作为变量数学发展的第一个决定性步骤,解析几何的建立对于微积分的诞生有着不可估量的作用。

在解析几何中,首先是建立坐标系。如上图,取定两条相互垂直的、具有一定方向和度量单位的直线,叫做平面上的一个直角坐标系xOy。利用坐标系可以把平面内的点和一对实数(x,y)建立起一一对应的关系。除了直角坐标系外,还有斜坐标系、极坐标系、空间直角坐标系等等。在空间坐标系中还有球坐标和柱面坐标。

坐标系将几何对象和数、几何关系和函数之间建立了密切的联系,这样就可以对空间形式的研究归结成比较成熟也容易驾驭的数量关系的研究了。用这种方法研究几何学,通常就叫做解析法。这种解析法不但对于解析几何是重要的,就是对于几何学的各个分支的研究也是十分重要的。

解析几何的创立,引入了一系列新的数学概念,特别是将变量引入数学,使数学进入了一个新的发展时期,这就是变量数学的时期。解析几何在数学发展中起了推动作用。恩格斯对此曾经作过评价“数学中的转折点是笛卡尔的变数,有了变数,运动进入了数学;有了变数,辩证法进入了数学;有了变数,微分和积分也就立刻成为必要的了。

分支学科

算术、初等代数、高等代数、数论、欧式几何、非欧几何、微分几何、代数几何学、射影几何学、拓扑学、分形几何、微积分学、实变函数论、概率和数理统计、复变函数论、泛函分析、偏微分方程、常微分方程、数理逻辑、模糊数学、运筹学、计算数学、突变理论、数学物理学、函数等。

解析几何的应用

解析几何又分作平面解析几何和空间解析几何。

在平面解析几何中,除了研究直线的有关性质外,主要是研究圆锥曲线(圆、椭圆、抛物线、双曲线)的有关性质。

在空间解析几何中,除了研究平面、直线有关性质外,主要研究柱面、锥面、旋转曲面。

如椭圆、双曲线、抛物线的有些性质,在生产或生活中被广泛应用。比如电影放映机的聚光灯泡的反射面是椭圆面,灯丝在一个焦点上,影片门在另一个焦点上;探照灯、聚光灯、太阳灶、雷达天线、卫星的天线、射电望远镜等都是利用抛物线的原理制成的。

总的来说,解析几何运用坐标法可以解决两类基本问题:一类是满足给定条件点的轨迹,通过坐标系建立它的方程;另一类是通过方程的讨论,研究方程所表示的曲线性质。

运用坐标法解决问题的步骤是:首先在平面上建立坐标系,把已知点的轨迹的几何条件“翻译”成代数方程;然后运用代数工具对方程进行研究;最后把代数方程的性质用几何语言叙述,从而得到原先几何问题的答案。

坐标法的思想促使人们运用各种代数的方法解决几何问题。先前被看作几何学中的难题,一旦运用代数方法后就变得平淡无奇了。坐标法对近代数学的机械化证明也提供了有力的工具。

希腊著名学者梅内克缪斯(公元前4世纪)企图解决当时的著名难题“倍立方问题”(即用直尺和圆规把立方体体积扩大一倍)。他把直角三角形ABC的直角A的平分线AO作为轴。旋转三角形ABC一周,得到曲面ABECE',如图1。用垂直于AC的平面去截此曲面,可得到曲线EDE',梅内克缪斯称之为“直角圆锥曲线”。他想以此在理论上解决“倍立方问题。”未获成功。而后,便撤开“倍立方问题”,把圆锥曲线做为专有概念进行研究:若以直角三角形ABC中的长直角边AC为轴旋转三角形ABC一周,得到曲面CB'EBE',如图2。用垂直于BC的平面去截此曲面,其切口为一曲线,称之为“锐角圆锥曲线”;若以直角三角形ABC中的短直角边AB为轴旋转三角形ABC一周,可得到曲面BC'ECE'。如图3。用垂直于BV的平面去截此曲面,其切口曲线EDE'称为“钝角圆锥曲线”。当时,希腊人对平面曲线还缺乏认识,上述三种曲线须以“圆锥曲面为媒介得到,因此,被称为圆锥曲线的“雏形”。

解析几何的产生

十六世纪以后,由于生产和科学技术的发展,天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。比如,德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的,太阳处在这个椭圆的一个焦点上;意大利科学家伽利略发现投掷物体是沿着抛物线运动的。这些发现都涉及到圆锥曲线,要研究这些比较复杂的曲线,原先的一套方法显然已经不适应了,这就导致了解析几何的出现。

1637年,法国的哲学家和数学家笛卡尔发表了他的著作《方法论》,这本书的后面有三篇附录,一篇叫《折光学》,一篇叫《流星学》,一篇叫《几何学》。当时的这个“几何学”实际上指的是数学,就像我国古代“算术”和“数学”是一个意思一样。

笛卡尔的《几何学》共分三卷,第一卷讨论尺规作图;第二卷是曲线的性质;第三卷是立体和“超立体”的作图,但他实际是代数问题,探讨方程的根的性质。后世的数学家和数学史学家都把笛卡尔的《几何学》作为解析几何的起点。

从笛卡尔的《几何学》中可以看出,笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍”的数学,把算术、代数、几何统一起来。他设想,把任何数学问题化为一个代数问题,在把任何代数问题归结到去解一个方程式。

为了实现上述的设想,笛卡尔从天文和地理的经纬制度出发,指出平面上的点和实数对(x,y)的对应关系。x,y的不同数值可以确定平面上许多不同的点,这样就可以用代数的方法研究曲线的性质。这就是解析几何的基本思想。

具体地说,平面解析几何的基本思想有两个要点:第一,在平面建立坐标系,一点的坐标与一组有序的实数对相对应;第二,在平面上建立了坐标系后,平面上的一条曲线就可由带两个变数的一个代数方程来表示了。从这里可以看到,运用坐标法不仅可以把几何问题通过代数的方法解决,而且还把变量、函数以及数和形等重要概念密切联系了起来。

解析几何的产生并不是偶然的。在笛卡尔写《几何学》以前,就有许多学者研究过用两条相交直线作为一种坐标系;也有人在研究天文、地理的时候,提出了一点位置可由两个“坐标”(经度和纬度)来确定。这些都对解析几何的创建产生了很大的影响。

在数学史上,一般认为和笛卡尔同时代的法国业余数学家费尔马也是解析几何的创建者之一,应该分享这门学科创建的荣誉。

费尔马是一个业余从事数学研究的学者,对数论、解析几何、概率论三个方面都有重要贡献。他性情谦和,好静成癖,对自己所写的“书”无意发表。但从他的通信中知道,他早在笛卡尔发表《几何学》以前,就已写了关于解析几何的小文,就已经有了解析几何的思想。只是直到1679年,费尔马死后,他的思想和著述才从给友人的通信中公开发表。

笛卡尔的《几何学》,作为一本解析几何的书来看,是不完整的,但重要的是引入了新的思想,为开辟数学新园地做出了贡献。

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